Question

如图，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，弦AG⊥弦BC于F点，连EF，CD与AG相交于M点，则下列结论：①BD=BG；②DE=EM；③∠ACD=∠AFE；④AF=BF，其中正确的有

①②③

（填序号）．

Answer 1

分析：连结AD、BD、BG，如图，由AB⊥CD，AG⊥BC得到∠CEB=∠AFB=90°，根据等角的余角相等得到∠ECB=∠BAF，则弧BD=弧BG，根据圆心角、弧、弦的关系得到BD=BG；根据圆周角定理得∠DAB=∠DCB，则∠DAB=∠BAG，加上AE⊥MD，则可判断△ADM为等腰三角形，所以DE=EM；由于∠CFA=∠AEC=90°，根据圆周角定义得到点E和点F在以AC为直径的圆上，则∠ACE=∠AFE；由于∠B不能确定为45°，则可得到AF与BF不一定相等．

解答：解：连结AD、BD、BG，如图，
∵AB⊥CD，AG⊥BC，
∴∠CEB=∠AFB=90°，
∴∠ECB+∠B=90°，∠BAF+∠B=90°，
∴∠ECB=∠BAF，即∠DCB=∠BAG，
∴弧BD=弧BG，
∴BD=BG，所以①正确；
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠DAB=∠BAG，即∠DAE=∠MAE，
∵AE⊥MD，
∴△ADM为等腰三角形，
∴DE=EM，所以②正确；
∵∠CFA=∠AEC=90°，
∴点E和点F在以AC为直径的圆上，
∴∠ACE=∠AFE，所以③正确；
∵∠B不能确定为45°，
∴△FAB不能确定为等腰直角三角形，
∴AF与BF不一定相等，所以④错误．
故答案为①②③．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质．