Question

13．已知点C为直线AB上一点，M为AC中点，N为BC中点．

①当点C在线段上时，如图，求证：MN=$\frac{1}{2}$AB
②当点C在AB的延长线上时或AB的反向延长线上时．画出图形并猜想MN和AB的数最关系，加以证明．

Answer 1

分析 分三种情况当C在线段AB上时，当C在线段AB的延长线上时，当C在线段BA的延长线上时，进行推论说明．

解答 解：∵M是线段AC的中点，∴CM=$\frac{1}{2}$AC，
∵N是线段BC的中点，∴CN=$\frac{1}{2}$BC，
以下分三种情况讨论，
当C在线段AB上时，MN=CM+CN=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB；

当C在线段AB的延长线上时，MN=CM-CN=$\frac{1}{2}$AC-$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB；

当C在线段BA的延长线上时，MN=CN-CM=$\frac{1}{2}$AC-$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$（AC-BC）=$\frac{1}{2}$AB；

综上：MN=$\frac{1}{2}$AB．
故答案为：MN=$\frac{1}{2}$AB．

点评 此题考查了两点间的距离．首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算与证明．