Question

【题目】抛物线y= x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧．

（1）求D点坐标；
（2）若∠PBA= ∠OBC，求点P的坐标；
（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y= x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，

∴y= （x+4）（x﹣2）= （x2+2x﹣8）= （x+1）2﹣3．

∴D（﹣1，﹣3）．

（2）

解：在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．

∵点E与点B关于y轴对称，

∴∠OBC=∠OEC．

∴∠OBC=∠GEF．

∵∠PBA= ∠OBC，

∴∠PBA=∠EFB．

∴EF=EB=4．

∵OE=2，OC= ，

∴EC= ．

∵GF∥OC，

∴△FGE∽△COE．

∴ = = ，即 = = ，

解得：FG= ，EG= ，

∴F（﹣ ， ）．

设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得： ，

解得：k=﹣ ，b=1，

∴直线BP的解析式为y=﹣ x+1．

将y=﹣ x+1与y= x2+ x﹣ 联立，

解得：x=﹣ ，x=2（舍去），

∴y= ．

∴P（﹣ ， ）；

（3）

解：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，

∴﹣k+b=0，

∴b=k，

∴y=kx+k．

由 得： x2+（ ﹣k）﹣ ﹣k=0

∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，

解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，

∵点M是线段PQ的中点，

∴由中点坐标公式的点M（ k﹣1， k2）．

假设存在这样的N点如图2，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由 ，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，

∴N（3k﹣1，3k2﹣3）．

∵四边形DMPN是菱形，

∴DN=DM，

∴（3k）2+（3k2）2=（ ）2+ k2+3）2，

整理得：3k4﹣k2﹣4=0，

∵k2+1＞0，

∴3k2﹣4=0，

解得k=± ，

∵k＜0，

∴k=﹣ ，

∴P（﹣3 ﹣1，6），M（﹣ ﹣1，2），N（﹣2 ﹣1，1）．

∴PM=DN=2 ，

∵PM∥DN，

∴四边形DMPN是平行四边形，

∵DM=DN，

∴四边形DMPN为菱形，

∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2 ﹣1，1）．

【解析】（1）抛物线的解析式为y= （x+4）（x﹣2），然后利用配方法可求得点D的坐标；（2）在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB与点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．首先证明EF=EB=4，然后证明△FGE∽△COE，依据相似三角形的性质可得到FG= ，EG= ，故可得到点F的坐标，然后可求得BP的解析式，最后可求得直线与抛物线的交点坐标即可；（3）设P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对菱形的判定方法的理解，了解任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．