【题目】如图,抛物线与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点 C在x轴下方,且使ΔOCA∽ΔOBC.
(1)求线段OC的长度;
(2)设直线BC与y轴交于点D,点C是BD的中点时,求直线BD和抛物线的解析式,
(3)在(2)的条件下,点P是直线BC下方抛物线上的一点,过P作于点E,作PF//AB交BD于点F,是否存在一点P,使得最大,若存在,请求出该最大值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2),;(3)存在,.
【解析】
(1)由抛物线与x轴交于A,B两点,得OA=1,OB=3,由ΔOCA∽ΔOBC.,得,进而得到答案;
(2)由点C是BD的中点,OC=,得:a=,点C的坐标是:( ,),再根据待定系数法,求出直线BD和抛物线的的解析式;
(3)由直线BD的解析式为:,得:∠OBD=30°,由,PF//AB,得PE=PF,,设P坐标为(m,),( ),
点F的坐标为(,),求出PF关于m的函数解析式,即可求出的最大值.
(1)∵抛物线与x轴交于A,B两点,
∴A(1,0),B(3,0),即:OA=1,OB=3,
∵ΔOCA∽ΔOBC.,
∴ ,即:,
∴OC=;
(2)∵点C是BD的中点,
∴点C的坐标( ,),
∵OC=,
∴,解得:a=或a=-(舍去)
∴抛物线的解析式为:,
即:
∴点C的坐标是:( ,),
设直线BD的解析式为:y=kx+b,
把( ,),(3,0)代入y=kx+b,
得:,解得:,
∴直线BD的解析式为:;
(3)存在,理由如下:
∵直线BD的解析式为:,
∴点D坐标为(0,),即:OD=,
∴tan∠OBD=,
∴∠OBD=30°,
∵,PF//AB,
∴∠PFE=∠OBD=30°,
∴PE=PF,
∴,
设P坐标为(m,),( ),
则点F的坐标为(,),
∴PF=m-()==,
∴当m=时,PF的最大值=,此时,的最大值=.
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【题目】如图,已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是( )
A.8B.12C.D.
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【题目】在纸片中,,,.如图,直角顶点在原点,点在轴负半轴上,当点在轴上向上移动时,点也随之在轴上向右移动,当点到达原点时,点停止移动.在移动过程中,点到原点的最大距离是__________.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B90°,AB4,BC2,以AC为边作△ACE,∠ACE90°,AC=CE,延长BC至点D,使CD5,连接DE.求证:△ABC∽△CED.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,D是弧BC的中点,过点D作EF垂直于直线AC,垂足为F,交AB的延长线于点E.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若AF=6,EF=8,求⊙O的半径.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AD=4,AB=2.点E是AB的中点,点F是BC边上的任意一点(不与B、C重合),△EBF沿EF翻折,点B落在B'处,当DB'的长度最小时,BF的长度为________.
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【题目】已知:甲、乙两车分别从相距300km的A,B两地同时出发相向而行,甲到B地后立即返回,下图是它们离各自出发地的距离y与行驶时间x之间的函数图象.
(1)求甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式,并标明自变量的取值范围;
(2)若已知乙车行驶的速度是40千米/小时,求出发后多长时间,两车离各自出发地的距离相等;
(3)它们在行驶过程中有几次相遇.并求出每次相遇的时间.
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【题目】如图,A为某旅游景区的最佳观景点,游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景,然后再由E处继续乘坐缆车到达A处,返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处,已知:AC⊥BC于C,DE∥BC,BC=110米,DE=9米,BD=60米,α=32°,β=68°,求AC的高度.(参考数据:sin32°≈0.53;cos32°≈0.85;tan32°≈0.62;sin68°≈0.93;cos68°≈0.37;tan68°≈2.48)
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