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【题目】如图,抛物线x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点 Cx轴下方,且使ΔOCA∽ΔOBC.

(1)求线段OC的长度;

(2)设直线BCy轴交于点D,点CBD的中点时,求直线BD和抛物线的解析式,

(3)(2)的条件下,点P是直线BC下方抛物线上的一点,过P于点E,作PF//ABBD于点F,是否存在一点P,使得最大,若存在,请求出该最大值;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2;(3)存在,.

【解析】

1)由抛物线x轴交于A,B两点,得OA=1OB=3,由ΔOCA∽ΔOBC.,得,进而得到答案;

(2)由点CBD的中点,OC=,得:a=,点C的坐标是:(),再根据待定系数法,求出直线BD和抛物线的的解析式;

(3)由直线BD的解析式为:,得:∠OBD=30°,由PF//AB,得PE=PF,设P坐标为(m),( ),

F的坐标为(),求出PF关于m的函数解析式,即可求出的最大值.

1)∵抛物线x轴交于A,B两点,

A(10)B(30),即:OA=1OB=3

∵ΔOCA∽ΔOBC.,

,即:

OC=

2)∵点CBD的中点,

∴点C的坐标(),

OC=

,解得:a=a=-(舍去)

∴抛物线的解析式为:

即:

∴点C的坐标是:(),

设直线BD的解析式为:y=kx+b

把(),(30)代入y=kx+b

得:,解得:

∴直线BD的解析式为:

3)存在,理由如下:

∵直线BD的解析式为:

∴点D坐标为(0),即:OD=

tanOBD=

∴∠OBD=30°,

PF//AB

∴∠PFE=OBD=30°,

PE=PF

P坐标为(m),( ),

则点F的坐标为(),

PF=m-()==

∴当m=时,PF的最大值=,此时,的最大值=.

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