Question

如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交
于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：联结BO，……………………………1分
方法一：∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，
∵AB＝AO，
∴∠ABO＝∠AOB，………………2分
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切线．····················· 3分
方法二：∵AB＝AO，BO＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝60°，
∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，
又∠D＋∠ABD＝∠BAO＝60°，∴∠ABD＝30°， …………………2分
∴∠OBD＝∠ABD＋∠ABO＝90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切线． ……………………………………………………3分
方法三：∵ AB＝AD＝AO，∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上 …………2分
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切线． ……………………………………………………3分
（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF， ……………………·· 4分
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，
在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴，
            又∵CF=9，
∴EF=6．…………………5分

 略