Question

如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．
（1）∠OCD的平分线CE交⊙O于E，连接OE．求证：E为弧ADB的中点；
（2）如果⊙O的半径为1，CD=

3

，求O到弦AC的距离．

Answer 1

分析：（1）先证明OE∥CD，从而得到OE⊥AB，则OE平分AB所对的弧．
（2）由OC，CD的长度得到∠COB=60°，然后过O作AC的垂线段OF，利用特殊角的三角函数值可求出OF．

解答：（1）证明：过O作AC的垂线段OF．如图，
∵∠OCD的平分线CE交⊙O于E，
∴∠1=∠2．
又∵∠2=∠E，
∴∠E=∠1．
∴OE∥CD，而CD⊥AB．
∴OE⊥AB．
∴OE平分ADB弧，
即E为弧ADB的中点．

（2）解：∵CD=

3

，
∴CH=

3

2

，而OC=1．
∴∠COH=60°．
∴∠A=30°．
∴OF=

1

2

OA=

1

2

．
即O到弦AC的距离为

1

2

．

点评：熟练掌握垂径定理及其推论．记住含30度角的直角三角形三边之间的数量关系．