Question

【题目】已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点H为CD上任意一点（不与C、D重合），过点H作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．

（1）如图1，线段EH、CH、AE之间的数量关系是　 　；

（2）如图2，将△DHE绕点D顺时针旋转，当点E、H、C在一条直线上时，求证：AE+EH=CH．

Answer 1

【答案】(1) EH2+CH2=AE2；(2)见解析.

【解析】分析：（1）如图1，过E作EM⊥AD于M，由四边形ABCD是菱形，得到AD=CD，∠ADE=∠CDE，通过△DME≌△DHE，根据全等三角形的性质得到EM=EH，DM=DH，等量代换得到AM=CH，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，根据菱形的性质得到∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，在CH上截取HG，使HG=EH，推出△DEG是等边三角形，由等边三角形的性质得到∠EDG=60°，推出△DAE≌△DCG，根据全等三角形的性质即可得到结论．

详解：

（1）EH2+CH2=AE2，

如图1，过E作EM⊥AD于M，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，

∵EH⊥CD，

∴∠DME=∠DHE=90°，

在△DME与△DHE中，

，

∴△DME≌△DHE，

∴EM=EH，DM=DH，

∴AM=CH，

在Rt△AME中，AE2=AM2+EM2，

∴AE2=EH2+CH2；

故答案为：EH2+CH2=AE2；

（2）如图2，

∵菱形ABCD，∠ADC=60°，

∴∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，

∵EH⊥CD，

∴∠DEH=60°，

在CH上截取HG，使HG=EH，

∵DH⊥EG，∴ED=DG，

又∵∠DEG=60°，

∴△DEG是等边三角形，

∴∠EDG=60°，

∵∠EDG=∠ADC=60°，

∴∠EDG﹣∠ADG=∠ADC﹣∠ADG，

∴∠ADE=∠CDG，

在△DAE与△DCG中，

，

∴△DAE≌△DCG，

∴AE=GC，

∵CH=CG+GH，

∴CH=AE+EH．