Question

如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A₁、B₁，则四边形A₁ABB₁的面积为，再分别取A₁C、B₁C的中点A₂、B₂，A₂C、B₂C的中点A₃、B₃，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出＋＋＋…＋＝________．

 

Answer 1

1-

解析:）∵正△ABC面积为1，A₁、B₁分别为AC、BC两边的中点，

∴S_△A1B1C= S_△ABC=  ，

∴S_{四边形ABB1A1}=3S_△A1B1C=3× ，

同理S_△A2B2C= S_△A1B1C= × = ，

∴S_{四边形A1B1B2A2}=3_S△A2B2C=3×，

…

以此类推S_{四边形An-1Bn-1BnAn}=3S_△AnBnC=3×，

S_△AnBnC= ，

∵S_△ABC=S_{四边形ABB1A1}+S_{四边形A1B1B2A2}+…+S_{四边形An-1Bn-1BnAn}+S_△AnBnC=1，

即3× +3× +…+3×+ =1，

∴+ +…+=1-．