Question

5．三角形具有稳定性，边数大于或等于4的多边形不具有稳定性，研究多边形常常借助于三角形的知识．
已知：AC=BD=2，AC与BD所成的角为60°，AC的中点为O．

观察与思考下列问题：
（1）如图1，当点B与点O重合时，连接各项点构成△ACD，延长OC到点E，使CE=AO，连结DE，如图2，则S_△ACD=S_△ODE=$\sqrt{3}$；
（2）将图1中的DB沿DO所在的方向向下平移，当BD被点O平分时，连接各顶点构成矩形ABCD，如图3，若求矩形ABCD的面积，可将其转化为求三角形的面积；延长OC到点E，使CE=AO，延长OD到点F，使DF=BO，连接EF，如图4，S_矩形ABCD=S_△OEF？请你说明理由；
（3）将图1中的DB沿DO所在的方向向下平移，BD过AC的中点O，当移动到如图5时，请你参照上面的作法，将四边形ABCD将转化为一个三角形，借助这个三角形求出四边形ABCD的面积．
解决问题：
如图6，线段AD=BE=CF=2，AD、BE、CF相交于点O，∠AOF=∠FOE=∠EOD=60°，连接各顶点构成凸六边形ABCDEF，设S_△OAB+S_△OCD+S_△OEF=S，请你说明S与$\sqrt{3}$之间数量关系．

Answer 1

分析 （1）首先求出CD、OE的长度各是多少；然后根据三角形的面积公式，求出S_△ACD、S_△ODE的值各是多少即可．
（2）首先判断出CD∥EF，即可推得△OCD∽OEF；然后根据$\frac{OD}{OF}=\frac{1}{2}$，可得S_△OEF=4S_△OCD，再根据S_矩形ABCD=4S_△OCD，即可推得S_矩形ABCD=S_△OEF．
（3）①首先延长OC到点E，使CE=AO，延长OD到点F，使DF=BO，连接EF，然后求出三角形OEF的面积，即可求出四边形ABCD的面积是多少．
②延长OD到点G，使DG=AO，延长OC到点H，使CH=FO，连接GH，然后求出三角形OGH的面积，即可求出六边形ABCDEF的面积是多少，进而判断出S与$\sqrt{3}$的关系即可．

解答 解：（1）如图1，，
∵BD=2，∠DOC=60°，
∴CD=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵CE=AO，
∴OE=AC=2，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}AC•CD=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴S_△ODE=$\frac{1}{2}OE•CD$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴S_△ACD=S_△ODE=$\sqrt{3}$．

（2）如图2，，
∵点O是矩形ABCD的对角线的交点，
∴AO=CO，BO=DO，
又∵CE=AO，DF=BO，
∴CE=CO，DF=DO，
∴$\frac{DO}{DF}=\frac{CO}{CE}=1$，
∴CD∥EF，
∴△OCD∽OEF，
∵$\frac{OD}{OF}=\frac{1}{2}$，
∴S_△OEF=4S_△OCD，
又∵S_矩形ABCD=4S_△OCD，
∴S_矩形ABCD=S_△OEF．

（3）①如图3，延长OC到点E，使CE=AO，延长OD到点F，使DF=BO，连接EF，，
∵CE=AO，AC=2，
∴OE=2，
∵DF=BO，BD=2，
∴OF=BD=2，
∵∠DOC=60°，
∴${S}_{四边形ABCD}{=S}_{△OEF}=\frac{1}{2}OF•OE•sin60°$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
即四边形ABCD的面积是$\sqrt{3}$．

②如图4，延长OD到点G，使DG=AO，延长OC到点H，使CH=FO，连接GH，，
∵DG=AO，AD=2，
∴OG=AD=2，
∵CH=FO，CF=2，
∴OH=CF=2，
∵∠DOC=∠AOF=60°，
∴S_△OAB+S_△OCD+S_△OEF=S=${S}_{△OGH}=\frac{1}{2}OG•OH•sin60°=\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
即S=$\sqrt{3}$．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了三角形的面积的求法，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．