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【题目】如图所示,某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tanα的值.测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为31°,塔底B的仰角为26.6°.已知塔高BC=40米,塔所在的山高OB=240米,OA=300米,图中的点O、B、C、A、P在同一平面内.求:

(1)P到OC的距离.
(2)山坡的坡度tanα.
(参考数据sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈0.50;sin31°≈0.52,tan31°≈0.60)

【答案】
(1)

解:如图,过点P作PD⊥OC于D,PE⊥OA于E,则四边形ODPE为矩形.

在Rt△PBD中,∵∠BDP=90°,∠BPD=26.6°,

∴BD=PDtan∠BPD=PDtan26.6°;

在Rt△CPD中,∵∠CDP=90°,∠CPD=31°,

∴CD=PDtan∠CPD=PDtan31°;

∵CD﹣BD=BC,

∴PDtan31°﹣PDtan26.6°=40,

∴0.60PD﹣0.50PD=40,

解得PD=400(米),

∴P到OC的距离为400米


(2)

解:在Rt△PBD中,BD=PDtan26.6°≈400×0.50=200(米),

∵OB=240米,

∴PE=OD=OB﹣BD=40米,

∵OE=PD=400米,

∴AE=OE﹣OA=400﹣300=100(米),

∴tanα= = =0.4,

∴坡度为0.4


【解析】(1)过点P作PD⊥OC于D,PE⊥OA于E,则四边形ODPE为矩形,先解Rt△PBD,得出BD=PDtan26.6°;解Rt△CPD,得出CD=PDtan31°;再根据CD﹣BD=BC,列出方程,求出PD=400即可求得点P到OC的距离;(2)利用求得的线段PD的长求出PE=40,AE=100,然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解.

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(发现) DQ________cm,AP________cm.(用含t的代数式表示)

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