如图.抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A.B两点.与y轴交于点C.顶点为D.抛物线的对称轴DF与BC相交于点E.与x轴相交于点F．(1)求线段DE的长,(2)设过E的直线与抛物线相交于点M(x1.y1).N(x2.y2).试判断当|x1-x2|的值最小时.直线MN与x轴的位置关系.并说明理由,(3)设P为x轴上的一点.∠DAO+∠DPO=∠α.当tan∠α=4时.求点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．
（1）求线段DE的长；
（2）设过E的直线与抛物线相交于点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），试判断当|x₁-x₂|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：代数综合题,压轴题

分析：（1）根据抛物线的解析式即可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，进而求得直线BC的解析式，把对称轴代入直线BC的解析式即可求得．
（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，依据E（1，2）的坐标即可表示出直线MN的解析式y=（2-b）x+b，根据直线MN的解析式和抛物线的解析式即可求得x²-bx+b-3=0，所以x₁+x₂=b，x₁ x₂=b-3；根据完全平方公式即可求得∵|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

(x1+x2)2-4x1x2

b2-4(b-3)

(b-2)2+8

，所以当b=2时，|x₁-x₂|最小值=2

，因为b=2时，y=（2-b）x+b=2，所以直线MN∥x轴．
（3）由D（1，4），则tan∠DOF=4，得出∠DOF=∠α，然后根据三角形外角的性质即可求得∠DPO=∠ADO，进而求得△ADP∽△AOD，得出AD²=AO•AP，从而求得OP的长，进而求得P点坐标．

解答：解：由抛物线y=-x²+2x+3可知，C（0，3），
令y=0，则-x²+2x+3=0，解得：x=-1，x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
∴顶点x=1，y=4，即D（1，4）；
∴DF=4
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得；

0=3k+b

3=b

，解得

k=-1

b=3

，
∴解析式为；y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
∴EF=2，
∴DE=DF-EF=4-2=2．

（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，
∵E（1，2），
∴2=k+b，
∴k=2-b，
∴直线MN的解析式y=（2-b）x+b，
∵点M、N的坐标是

y=(2-b)x+b

y=-x2+2x+3

的解，
整理得：x²-bx+b-3=0，
∴x₁+x₂=b，x₁x₂=b-3；
∵|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

(x1+x2)2-4x1x2

b2-4(b-3)

(b-2)2+8

，
∴当b=2时，|x₁-x₂|最小值=2

，
∵b=2时，y=（2-b）x+b=2，
∴直线MN∥x轴．

（3）如图2，∵D（1，4），

∴tan∠DOF=4，
又∵tan∠α=4，
∴∠DOF=∠α，
∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α，
∵∠DAO+∠DPO=∠α，
∴∠DPO=∠ADO，
∴△ADP∽△AOD，
∴AD²=AO•AP，
∵AF=2，DF=4，
∴AD²=AF²+DF²=20，
∴OP=19，
同理，当点P在原点左侧，OP=17．
∴P₁（19，0），P₂（-17，0）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的交点、顶点坐标、对称轴，以及相似三角形的判定及性质，求得三角形相似是本题的关键．

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