Question

（2013•陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为

10.5

．

Answer 1

分析：由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=

1

2

AB=3.5为定值，则GE+FH=GH-EF=GH-3.5，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值14-3.5=10.5．

解答：解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB=

1

2

AC=7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF=

1

2

AB=3.5，
∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5．
故答案为10.5．

点评：本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键．