Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AC是四边形的对角线，∠CAD=30°，过点C作CE⊥AB于点E，∠B=2∠BAC，∠ADC﹣∠BAC=90°，若AB=20，CD=16，则BE的长为____．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

在EA上截取EF＝EB，连接CF，作FM⊥AC于M，作CN⊥AD于N，由线段垂直平分线的性质得出CB＝CF，由等腰三角形的性质得出∠CFB＝∠B＝2∠BAC，证出∠FCA＝∠BAC，得出AF＝CF，由等腰三角形的性质得出CM＝AM＝AC，由直角三角形的性质得出CN＝AC，得出AM＝CN，证出∠BAC＝∠DCN，证明△AFM≌△CDN（ASA），得出AF＝CD＝16，进而得出答案．

在EA上截取EF=EB，连接CF，作FM⊥AC于M，作CN⊥AD于N，如图所示：

∵CE⊥AB，

∴CB=CF，

∴∠CFB=∠B=2∠BAC．

∵∠CFB=∠FCA+∠BAC，

∴∠FCA=∠BAC，

∴AF=CF．

∵FM⊥AC，

∴CM=AM=AC．

∵CN⊥AD，∠CAD=30，

∴CN=AC，

∴AM=CN．

∵∠ADC﹣∠BAC=90，

∴∠ADC=90+∠BAC．

∵∠ADC=∠N+∠DCN=90+∠DCN，

∴∠BAC=∠DCN，

在△AFM和△CDN中，，

∴△AFM≌△CDN（ASA），

∴AF=CD=16，

∴BF=AB﹣AF=20﹣16=4，

∴BE=BF=2．

故答案为：2．