Question

8．如图．在△AB0中，AB=A0=2B0，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB边于点C．△ABO绕点O顺时针旋转得△DCO，DC交AO于点E，DO交半圆于点F，连接AD，EF．
（1）求证：四边形ABOD是平行四边形；
（2）判断直线EF与半圆O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得出△ABO≌△DCO，再由已知条件和等腰三角形的性质得出AB=AO=DC=DO，∠DCO=∠DOC，因此∠BCO=∠DOC，得出AB∥OD，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出AD=OB，得出AD=OC，证出四边形ACOD是等腰梯形，得出OE=DE，再由已知条件得出OF=DF，由等腰三角形的三线合一性质得出EF⊥OD，即可得出结论．

解答 （1）证明：由旋转的性质得：△ABO≌△DCO，
∴AB=DC，AO=DO，OB=OC，∠ABO=∠DCO，
∴∠ABO=∠BCO，
∵AB=AO，
∴AB=AO=DC=DO，
∴∠DCO=∠DOC，
∴∠BCO=∠DOC，
∴AB∥OD，
∴四边形ABOD是平行四边形；
（2）解：直线EF与半圆O，理由如下：
由（1）得：四边形ABOD是平行四边形，
∴AD=OB，
∵OC=OB，
∴AD=OC，
∵AB∥OD，
∴四边形ACOD是等腰梯形，
∴OE=DE，
∵AB=2BO，OF=OB，AB=OD，
∴OF=DF，
∴EF⊥OD（三线合一），
∴直线EF与半圆O相切．

点评 本题考查了切线的判定、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、等腰梯形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．