Question

已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A，D两点，抛物线y=-x²+bx+c经过点A，D，点B是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）设点M是直线AD上一点，且S_△AOM：S_△OMD=1：3，求点M的坐标；
（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，则2x+4=0，
解得x=-2，
令x=0，则y=4，
所以，点A（-2，0）、D（0，4）；
代入抛物线y=-x²+bx+c中，得：
，解得
∴抛物线的解析式：y=-x²+x+4；
令y=0，得：0=-x²+x+4，解得 x₁=-2、x₂=4
∴点B（4，0）．

（2）∵S_△AOM：S_△OMD=1：3，∴AM：MD=1：3；
过点M作MN⊥x轴于N，如右图；
①当点M在线段AD上时，AM：AD=1：4；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN=OD=1、AN=OA=、ON=OA-AN=2-=；
∴M（-，1）；
②当点M在线段DA的延长线上时，AM：AD=1：2；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN=OD=2、AN=OA=1、ON=OA+AN=3；
∴M（-3，-2）；
综上，符合条件的点M有两个，坐标为：（-，1）、（-3，-2）．

（3）当x=2时，y=-x²+x+4=4，∴点C（2，4）；
设点P的坐标为（0，m）（m＞0），则有：
CP²=m²-8m+20、BP²=m²+16、BC²=20；
①当CP=BP时，m²-8m+20=m²+16，解得 m=；
②当CP=BC时，m²-8m+20=20，解得 m₁=0（舍）、m₂=8（舍去）；
③当BP=BC时，m²+16=20，解得 m₁=-2（舍）、m₂=2；
综上，存在符合条件的点P，坐标为（0，）或（0，2）．
分析：（1）首先由已知的直线解析式确定点A、D的坐标，再利用待定系数法可求出抛物线的解析式，在抛物线的解析式中，令y=0，即可求出点B的坐标．
（2）△AOM、△OMD中，它们的高都可视作点O到直线AD的距离，所以它们的面积比可转化为底边的比，即AM：MD=1：3，显然MD＞AM，所以只需考虑点M在线段AD上以及点M在线段DA的延长线上这两种情况，可过点M作x轴的垂线，通过构建相似三角形来求出点M的坐标．
（3）先求出点C的坐标，在知道了点C、B的坐标后，设出点P的坐标，然后表示出△BCP的三边长，分①CP=BP、②CP=BC、③BP=BC三种情况，列等式求出点P的坐标，需要注意的是要利用点P在y轴正半轴上，将不合题意的解舍掉．
点评：此题主要考查的是函数解析式的确定、三角形面积的解法、相似三角形以及等腰三角形的判定和性质等重要知识；后两题涉及的情况较多，都要进行分类讨论，以免出现漏解的情况．最后一题还要注意点P的位置，这是容易出错的地方．