Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．

（1）求证：AD＝AE；

（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE的长为8．

【解析】

（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明△AEC和△ADC全等即可证明AD＝AE，

（2）设AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，利用勾股定理列出关于x和y的等式，即可求出AE的长．

（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径，

∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，

∵CE∥AB，

∴∠E＝90°，

∴∠E＝∠ADB，

∵在△ABC中，AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，

∴∠BAC＝∠ACE，

∴∠BCA＝∠ACE，

又∵AC＝AC，

∴△ADC≌△AEC（AAS），

∴AD＝AE；

（2）解：设AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，

则BD＝（10﹣y），

∵△AEC和△ADB为直角三角形，

∴AE2+CE2＝AC2，AD2+BD2＝AB2，

AB＝10，AC＝4，AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，BD＝（10﹣y）代入，

解得：x＝8，

即AE的长为8．