Question

17．研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法．我们给出如下定义：如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；
（1）小文认为菱形是特殊的“筝形”，你认为他的判断正确吗？
（2）小文根据学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对AB≠BC的“筝形”的性质和判定方法进行了探究．下面是小文探究的过程，请补充完成：
①他首先发现了这类“筝形”有一组对角相等，并进行了证明，请你完成小文的证明过程．
已知：如图，在”筝形”ABCD中，AB=AD，CB=CD．
求证：∠ABC=∠ADC．
证明：连结BD，在△ABD和△BCD中，
∵AB=AD，BC=CD，
∴∠ABD=∠ADB，∠DBC=∠BDC
∴∠ABC=∠ADC．
②小文由①得到了这类“筝形”角的性质，他进一步探究发现这类“筝形”还具有其它性质，请再写出这类“筝形”的一条性质（除“筝形”的定义外）“筝形”有一条对角线平分一组对角；
③继性质探究后，小文探究了这类“筝形”的判定方法，写出这类“筝形”的一条判定方法（除“筝形”的定义外）：有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形．

Answer 1

分析 （1）菱形四边相等，根据筝形定义可得菱形是特殊的“筝形”；
（2）①连结BD，根据等边对等角可得∠ABD=∠ADB，∠DBC=∠BDC，进而可得∠ABC=∠ADC；
②连接AC，BD，根据线段垂直平分线的判定可得AC是BD的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BAC和∠BCD；
③根据线段垂直平分线的性质可得如果AC是BD的垂直平分线，则AB=AD，BC=CD．

解答 证明：（1）正确，
∵菱形四边相等，
∴菱形是特殊的“筝形”；

（2）①连结BD，在△ABD和△BCD中，
∵AB=AD，BC=CD，
∴∠ABD=∠ADB，∠DBC=∠BDC
∴∠ABC=∠ADC；

②“筝形”有一条对角线平分一组对角（答案不唯一），
连接AC，BD，
∵AB=AD，
∴A在BD的垂直平分线上，
∵BC=DC，
∴C在BD的垂直平分线上，
∴AC是BD的垂直平分线，
∵AB=AD，BC=CD，
∴AC平分∠BAC和∠BCD，
∴“筝形”有一条对角线平分一组对角，
故答案为：“筝形”有一条对角线平分一组对角；

③有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形（答案不唯一）．
故答案为：有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形．

点评 此题主要考查了四边形的综合，关键是掌握等腰三角形的性质，以及等腰三角形的判定：等边对等角．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．