Question

15．如图①，△ABC为等边三角形，D为AB延长线上一点，BD=DE．∠BDE=120°，连接EB、EC，F为EC的中点，连接FA、FD．
（1）AF与DF的数量关系是AF⊥DF，位置关系是AF=$\sqrt{3}$DF；
（2）将图①中的△BDE绕点B逆时针旋转60°，其它条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）将图①中的△BDE绕点B逆时针旋转任意角度，其它条件不变，（1）的结论是否成立？直接写出结论，无需说明理由．

Answer 1

分析 （1）方法一：利用倍长中线法得出△CFM≌△EFD，进而得出FM=FD，再判断出AM=AD，最后利用等腰三角形的三线合一即可即可得出结论；
方法二：先判断出∠CBE=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出BF=EF=CF，进而判断出△BDF≌△EDF，△ABF≌△ACF，最后代换即可得出结论．
（2）利用倍长中线法得出△CFM≌△EFD，即CM=DE，由旋转的性质进而判断出点M，C，B在同一条直线上，进而判断出△ACM≌△ABD，即可同（1）的方法得出结论；
（3）同（2）的方法得出CM=BD，∠MCF=∠DEF再用周角的定义，三角形的内角和得出∠ACM=∠ABD，即可判断出△ACM≌△ABD，最后同（2）的方法得出结论．

解答 解：（1）方法一：如图①，延长AC，DF相交于点M，
∵△ABC为等边三角形，∴
AC=AB，∠BAC=60°，
∵∠BDE=120°，
∴DE∥AC，
∴∠M=∠EDF，
∵点F是CE中点，
∴CF=EF，
在△CFM和△EFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠EDF}\\{∠CFM=∠EFD}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△CFM≌△EFD，
∴FM=FD，CM=DE，
∵BD=DE，
∴BD=CM．
∴AC+CM=AB+BD，
∴AM=AD，
∵FM=FD，
∴∠DAF=∠CAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，AF⊥DF，
∴AF=$\sqrt{3}$DF，
方法二，如图，连接BF，
∵∠BDE=120°，BD=DE，
∴∠DBE=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠CBE=90°，
∵点F是CE中点，
∴BF=EF=CF，
在△BDF和△EDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=DE}\\{DF=DF}\\{BF=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△EDF，
∴∠BFD=∠EFD，
同理：△ABF≌△ACF，
∴∠BAF=∠CAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，∠AFB=∠AFC，
∵∠AFD+∠AFC+∠EFD=180°，
∴∠AFD=90°，
在Rt△AFD中，∠DAF=30°，
∴AF=$\sqrt{3}$DF，
故答案为：AF⊥DF，AF=$\sqrt{3}$DF；
（2）（1）的结论仍然成立，
理由：如图②，延长DF至M使FM=FD，连接CM，AM，
∵点F是CE中点，
∴CF=EF，
在△MCF和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=EF}\\{∠CFM=∠EFD}\\{FM=FD}\end{array}\right.$，
∴△MCF≌△DEF，
∴CM=DE，
∵BD=DE，
∴CM=BD，
由旋转知，∠CBD=60°，
∵BD=DE．∠BDE=120°，
∴∠BED=∠EBD=30°，
∴∠CBE=30°=∠BED，
∴DE∥BC，
∴∠BCE+∠CED=180°，
∵△MCF≌△DEF，
∴∠FCM=∠FED，
∴∠FCM+∠BCE=180°，
∴点M，C，B在同一条直线上，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°
在△ACM和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACM=∠ABD=120°}\\{CM=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△ABD，
∴∠CAM=∠BAD，AM=AD，
∵FM=FD，
∴AF⊥DF，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAD+∠DAF+∠CAF=60°，
∴∠DAF+∠MAC+∠CAF=2∠DAF=60°，
∴∠DAF=30°，
∴AF=$\sqrt{3}$DF，
即：AF⊥DF，AF=$\sqrt{3}$DF，
（3）（1）的结论仍然成立，
理由：如图3，延长DF至M使FM=FD，连接CM，AM，
∵点F是CE中点，
∴CF=EF，
在△MCF和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=EF}\\{∠CFM=∠EFD}\\{FM=FD}\end{array}\right.$，
∴△MCF≌△DEF，
∴∠MCF=∠DEF，CM=DE，
∵BD=DE，
∴CM=BD，
∵∠ABD=∠ABC+∠CBE+∠DBE=90°+∠CBE，
∵∠ACM=360°-∠MCF-∠ACB-∠BCE
=360°-∠DEF-60°-∠BCE
=300°-∠DEF-∠BCE
=300°-（∠BED+∠BEC）-∠BCE
=300°-（30°+∠BEC）-∠BCE
=270°-（∠BCE+∠BEC）
=270°-（180°-∠CBE）
=90°+∠CBE，
∴∠ACM=∠ABD，
在△ACM和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACM=∠ABD}\\{CM=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△ABD，
∴∠CAM=∠BAD，AM=AD，
∵FM=FD，
∴AF⊥DF，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAD+∠DAF+∠CAF=60°
∴∠DAF+∠MAC+∠CAF=2∠DAF=60°，
∴∠DAF=30°，
∴AF=$\sqrt{3}$DF，
即：AF⊥DF，AF=$\sqrt{3}$DF．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，含30°的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，周角的定义，垂直的方法的判定，利用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键，（3）判断出∠ACM=∠ABD是解本题的难点，属于中考压轴题．