Question

已知关于x的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）m取何值时，方程有两个正实数根；
（2）当矩形的对角线长为时，求m的值．

Answer 1

解：（1）设矩形两邻边的长为a，b，
∵关于x的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长，
∴△≥0，即（m+1）²-4（m²+1）≥0，解得m≥，
a+b=m+1＞0，ab=m²+1＞0，解得m＞-1，
∴m≥时，方程有两个正实数根；
（2）∵矩形的对角线长为，
∴a²+b²=（）²，
∴（a+b）²-2ab=5，
∴（m+1）²-2（m²+1）=5，
即m²+4m-12=0，
解得m₁=2，m₂=-6，
∵m≥，
∴m=2，
所以当矩形的对角线长为时，m的值为2．
分析：（1）设矩形两邻边的长为a，b，根据△的意义得到△≥0，即（m+1）²-4（m²+1）≥0，解得m≥，而a、b都是正数，利用一元二次方程根与系数的关系有a+b=m+1＞0，ab=m²+1＞0，可解得m＞-1，综合可得到m的取值范围；
（2）根据矩形的性质和勾股定理得到a²+b²=（）²，变形有（a+b）²-2ab=5，把a+b=m+1，ab=m²+1代入得（m+1）²-2（m²+1）=5，整理得到m²+4m-12=0，解方程得到m₁=2，m₂=-6，然后即可得到符合条件的m的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＞0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理以及矩形的性质．