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    已知
    a
    b-c
    +
    b
    c-a
    +
    c
    a-b
    =0    ，求证：
    a
    (b-c)2
    +
    b
    (c-a)2
    +
    c
    (a-b)2
    =0    ．
    分析：由已知
    a
    b-c
    +
    b
    c-a
    +
    c
    a-b
    =0    ，得出（
    a
    b-c
    +
    b
    c-a
    +
    c
    a-b
    ）（
    1
    b-c
     +
    1
    c-a
    +
    1
    a-b
    ）等于
    a
    (b-a)2
    +
    b
    (c-a)2
     +
    c
    (a-b)2
    从而证明原命题正确．
    解答：证明：∵（
    a
    b-c
    +
    b
    c-a
    +
    c
    a-b
    ）（
    1
    b-c
     +
    1
    c-a
    +
    1
    a-b
    ）
    =
    a
    (b-c) 2
    +
    b
    (c-a) 2
    +
    c
    (a-b) 2
    +
    a+b
    (b-c)(c-a)
    +
    a+c
    (b-c)(a-b)
    +
    b+c
    (c-a)(a-b)
    ，
    =
    a
    (b-a)2
    +
    b
    (c-a)2
     +
    c
    (a-b)2
    +
    a2-b2+b2-c2+c2-  a2
    (b-c)(c-a)(a-b)
    ，
    ：∵（
    a
    b-c
    +
    b
    c-a
    +
    c
    a-b
    ）（
    1
    b-c
     +
    1
    c-a
    +
    1
    a-b
    ），
    =
    a
    (b-a)2
    +
    b
    (c-a)2
     +
    c
    (a-b)2
    ，
    ∵
    a
    b-c
    +
    b
    c-a
    +
    c
    a-b
    =0    ，
    ∴（
    a
    b-c
    +
    b
    c-a
    +
    c
    a-b
    ）（
    1
    b-c
     +
    1
    c-a
    +
    1
    a-b
    ），
    =（
    a
    b-c
    +
    b
    c-a
    +
    c
    a-b
    ）（
    1
    b-c
     +
    1
    c-a
    +
    1
    a-b
    ），
    =0，
    故
    a
    (b-c)2
    +
    b
    (c-a)2
    +
    c
    (a-b)2
    =0    正确．
    点评：此题主要考查了分式的运算变形，得出（
    a
    b-c
    +
    b
    c-a
    +
    c
    a-b
    ）（
    1
    b-c
     +
    1
    c-a
    +
    1
    a-b
    ）=
    a
    (b-a)2
    +
    b
    (c-a)2
     +
    c
    (a-b)2
    ，是解决问题的关键．
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