Question

【题目】（1）模型建立：

如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于.求证：；

（2）模型应用：

①如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，以线段为腰在第一象限内作等腰直角三角形，则点的坐标为___________（直接写出结果）

②如图，在和中，，，，连接、，作于点，延长与交于点，求证：是的中点.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①或，②见解析

【解析】

（1）利用同角的余角相等判断出∠CAD=∠BCE，然后利用AAS证明全等，即可得出结论；

（2）①先求出点A和点B的坐标，得到BO=4，AO=2，由为等腰直角三角形，可分为两种情况：AB=AC或AB=BC，分别求出点C坐标即可；

②作交的延长线于，作于，先由AAS证明≌，得到，同理可证，则，然后证明≌，即可得到结论.

解：（1），，

，，

，

，

，

在和中

，

；

（2）①∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，

令，则；令，则；

∴点A为（2，0），点B为（0，4），

∴BO=4，AO=2；

∵为等腰直角三角形，

当AB=AC时，有∠BAC=90°，如图：

与（1）同理，得△ABO≌△CAD，

∴AD=BO=4，CD=AO=2，

∴OD=AO+AD=2+4=6，

∴点C的坐标为：；

当AB=BC时，有∠ABC=90°，如图：

与（1）同理，得△ABO≌△BCE，

∴CE=BO=4，BE=AO=2，

∴OE=2+4=6，

∴点C坐标为：；

故答案为：或.

②如图，作交的延长线于，作于，

，

，

；

在与中，，

，

，

同理，，

，

在与中，，

，

，

是的中点.