Question

【题目】如图，在四边形中， ，延长至点，连接，且交于点，和的角平分线相交于点.

（1）求证：①；②；

（2）若，，求的度数；

（3）若，请你探究和之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）65°；（3），见解析.

【解析】

（1）①根据平行线的性质与判定证明即可；②过点P作PQ∥AB，则∠EAP=∠APQ，再根据平行线的性质证明即可；

（2）由AD∥BC，AB∥CD，可得∠EAD=∠B=70°，∠ECD=∠E=60°，再根据角平分线的性质解答即可；

（3）过点F作FH∥AB，根据平行线的性质以及角的和差关系解答即可．

（1）证明：①∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，

∵∠B=∠D，∴∠EAD=∠D，

∴AB∥CD；

②过点P作PQ∥AB，则∠EAP=∠APQ，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠DCP=∠CPQ，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠DCP=∠CPQ，

∵∠EAP=∠EAD，∠DCP=∠ECD，

∴∠EAD+∠ECD＝∠APC；

（2）由（1）知AD∥BC，AB∥CD，

∴∠EAD=∠B=70°，∠ECD=∠E=60°，

由（1）知∠EAD+∠ECD=2∠APC，

∴∠APC= (70°+60°)＝65°；

（3）过点F作FH∥AB，则∠EAD=∠AFH，

∵AB∥CD，

∴FH∥CD，

∴∠ECD=∠CFH，

∴∠EAD+∠ECD=∠AFH+∠CFH=∠AFC=∠EFD，

由（1）知∠EAD+∠ECD=2∠APC，

∴∠EFD=2∠APC，

∵∠APC=m°，∠EFD=n°，

∴m＝n．