Question

某工厂生产一种矩形材料板，其长宽之比为3：2．每张材料板的成本c（单位：元）与它的面积（单位：cm²）成正比例，每张材料板的销售价格y（单位：元）与其宽x之间满足我们学习过的三种函数（即一次函数、反比例函数和二次函数）关系中的一种．下表记录了该工厂生产、销售该材料板一些数据．

材料板的宽x （单位：cm）	24	30	42	54
成本c （单位：元）	96	150	294	486
销售价格y （单位：元）	780	900	1140	1380

（1）求一张材料板的销售价格y与其宽x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围；
（2）若一张材料板的利润w为销售价格y与成本c的差．
①请直接写出一张材料板的利润w与其宽x之间的函数关系，不要求写出自变量的取值范围；
②当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大？最大利润是多少．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据图表可知所有点在一条直线上，故是一次函数；
（2）①因为长宽之比为3：2，当宽为x时，则长为1.5x，根据矩形的面积公式可得x和y的关系进而得到c和x的关系，所以一张材料板的利润w与其宽x之间的函数关系可求出；②利用①中的函数性质即可求出当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大，以及最大利润是多少．

解答：解：（1）根据表中的数据判断，销售价格y于宽x之间的函数关系不是反比例函数关系，
假设是一次函数，设其解析式为y=kx+b，
则24k+b=780，30k+b=900，
解得：k=20，b=300，
将x=42，y=1140和x=54，y=1380代入检验，满足条件
所以其解析式为y=20x+300；

（2）①∵矩形材料板，其长宽之比为3：2，
∴当宽为x时，则长为1.5x，
∴w=-

1

6

x²+20x+300；
②由①可知：w=-

1

6

x²+20x+300=-

1

6

（x-60）²+900，
∴当材料板的宽为60cm时，一张材料板的利润最大，最大利润是900元．

点评：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-

b

2a

时取得．