Question

11．在矩形ABCD中．AB=3，BC=4，点M是BC边上一点．连接AM，把△ABM沿AM折叠．使点B落在点B′处．当△CMB′为直角三角形时．则BM长为1.5或3．

Answer 1

分析 如图1所示，证明三角形ABM为等腰直角三角形即可求得BM的长；如图2所示：先求得AC的长，然后再证明点B′在AC上，最后根据△ABC∽△B′MC进行求解即可．

解答 解：如图1所示；

∵∠B′MC=90°，
∴∠BMB′=90°．
由翻折的性质可知；∠BMA=∠B′MA=45°，
在△ABN中，∠B=90°，∠BMA=45°，
∴∠BAM=45°．
∴∠BAM=∠BNA．
∴MB=AB=3．
如图2所示，连接AC，作AM平分∠CAB，交BC于点M，过点M作MB′⊥AC，垂足为B′．

∵AM平分∠CAB，BM⊥AB，MB′⊥AC，
∴MB=B′M．
在Rt△ABM和Rt△AB′M中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=B′M}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△AB′M．
∴Rt△ABM与Rt△AB′M关于AM对称．
在Rt△ABC中由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5
∵∠ACB=∠MCB′，∠B=∠MB′C，
∴△ABC∽△B′MC．
∴$\frac{MC}{AC}=\frac{MB′}{AB}$．
设MB=MB′=x，则：$\frac{4-x}{5}=\frac{x}{3}$．
解得：x=1.5．
∴BM=1.5．
综上所述，当三角形△CMB′为直角三角形时，MB=3或MB=1.5．
故答案为：1.5或3．

点评 本题主要考查的是矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，根据题意画出图形是解题的关键．