Question

【题目】在矩形ABCD中，G为AD上一点，连接BG，CG，作CE⊥BG于点E，连接ED交GC于点F．

（1）如图1，若点G为AD的中点，则线段BG与CG有何数量关系？请说理由．

（2）如图2，若点E恰好为BG的中点，且AB=3，AG=k（0＜k＜3），求的值（用含k的代数式表示）；

（3）在（2）有条件下，若M、N分别为GC、EC上的任意两点，连接NF、NM，当k=时，求NF+NM的最小值．

Answer 1

【答案】（1）GB=GC．理由见解析；（2）=；（3）NF+NM的最小值是．

【解析】

1）结论：GB=GC．证明△BAG≌△CDG即可；

（2）根据相似三角形的性质得到，得到BC=，过G作GH⊥GD交DE于H，推出G，E．C，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠GDH=∠GCE=∠BCE=∠ABG，根据相似三角形得，即可得到结论；

（3）把k=代入，过F作FJ⊥BC于J交CE于N，反向延长交AD于H，则FH⊥AD，过N作NM⊥PC于M，则NF+NM的最小值即为FJ的长，即可得到结论．

（1）结论：GB=GC．

理由：∵四边形ABCD是矩形，

∵AB=DC，∠A=∠CDG=90°，

∵GA=GD，

∴△BAG≌△CDG（SAS），

∴BG=CG．

（2）解：在矩形ABCD中，

∵∠A=∠ABC=90°，

∵CE⊥BG，

∴∠CEB=90°，

∴∠A=∠CEB，

∴∠AGB+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，

∴∠AGB=∠GBC，

∴△ABG∽△ECB；

∴=，

∵BG=，E为BG的中点，

∴BE=，

∴BC=，

如图1，过G作GH⊥GD交DE于H

∴GD=BC-AG=，

∵∠BEC=∠ADC=90°，

∴G，E．C，D四点共圆，

∴∠GDH=∠GCE=∠BCE=∠ABG，

∴△AGB∽△GHD，

∴=，

∴GH=，

∴==，

∴==；

（3）当k=时，=，

如图2，过F作FJ⊥BC于J交CE于N，反向延长交AD于H，

则FH⊥AD，过N作NM⊥PC于M，

∴NF+NM的最小值即为FJ的长，

∴==，

∴=，∵HJ=CD=AB=3，

∴FJ=，

即NF+NM的最小值是．