Question

如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：
8=3²-1²，16=5²-3²，24=7²-5²；则8、16、24这三个数都是奇特数．
（1）32和2012这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式．
（2）设两个连续奇数是2n-1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？

Answer 1

考点：平方差公式

专题：新定义

分析：（1）根据32=9²-7²，以及8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，进行判断．
（2）利用平方差公式计算（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n•2=8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．

解答：解：（1）32这个数是奇特数．因为32=9²-7²，
∵8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，2012不是8的倍数，
∴2012这个数不是奇特数．

（2）两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．理由如下：
（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n．

点评：本题考查了图形的变化类以及新概念和平方差公式：a²-b²=（a-b）（a-b），利用图形正确表示出阴影部分是解题关键．