Question

15．如图，矩形ABCD中，P为AD边上一点，沿直线BP将△ABP翻折至△EBP（点A的对应点为点E），PE与CD相交于点O，且OE=OD．
（1）求证：PE=DH；
（2）若AB=10，BC=8，求DP的长．

Answer 1

分析 （1）证明△DOP≌△EOH，根据全等三角形的对应边相等证得OP=OH，据此即可证得；
（2）设DP=x，则EH=x，BH=10-x，在Rt△BCH中利用勾股定理即可列方程求解．

解答 解：（1）证明：∵OD=OE，∠D=∠E=90°，∠DOP=∠EOH
∴△DOP≌△EOH，
∴OP=OH，
∴PO+OE=OH+OD，
∴PE=DH；

（2）设DP=x，则EH=x，BH=10-x，
CH=CD-DH=CD-PE=10-（8-x）=2+x，
∴在Rt△BCH中，BC²+CH²=BH²
（2+x）²+8²=（10-x）²，
∴x=$\frac{4}{3}$
∴DP=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了图象的折叠，以及勾股定理，在求线段的长时，常用的方法是转化为直角三角形中，利用勾股定理求解．