Question

矩形折叠问题：如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由．
（1）若AB=4，BC=8，求AF．
（2）若对折使C在AD上，AB=6，BC=10，求AE，DF的长．

Answer 1

解：（1）如图1，由折叠的性质可知AB=CD=C′D，
又∠A=∠C′=90°，∠AFB=∠C′FD，
∴△ABF≌△C′DF，
∴BF=DF，
∴重合部分△BDF为等腰三角形；
设AF=x，则BF=DF=8-x，在Rt△ABF中，
由勾股定理得AB²+AF²=BF²，即4²+x²=（8-x）²，
解得AF=x=3；

（2）如图2，由折叠的性质可知BE=BC=10，又AB=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE==8；
设DF=x，由折叠的性质得EF=FC=6-x，DE=AD-AE=2，
在Rt△DEF中，由勾股定理得DE²+DF²=EF²，即2²+x²=（6-x）²，
解得DF=x=．
分析：（1）如图1，由折叠的性质可证△ABF≌△C′DF，可得BF=DF，可判断重合部分为等腰三角形；设AF=x，则BF=DF=8-x，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AF；
（2）如图2，由折叠的性质可知BE=BC=10，又AB=6，在Rt△ABE中，由勾股定理可求AE，设DF=x，由折叠的性质得EF=FC=6-x，在Rt△DEF中，由勾股定理可求DF．
点评：本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据折叠的性质将有关线段转化，把问题集中到直角三角形中解题．