Question

11．如图所示，顶点为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）的抛物线y=ax²+bx+c过点M（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．
 

Answer 1

分析 （1）设抛物线方程为顶点式y=a（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，将点M的坐标代入求a的值即可；
（2）设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．则直角△AOG是等腰直角三角形∠AGO=45°．点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象位于点一、三象限．故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：
①此菱形以AB为边且AC也为边，②此菱形以AB为对角线，利用点的坐标与图形的性质，勾股定理，菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得k的值即可．

解答 解：（1）依题意可设抛物线方程为顶点式y=a（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$（a≠0），
将点M（2，0）代入可得：a（2-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$=0，
解得a=1．
故抛物线的解析式为：y=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$．
则对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
∴点A与点M（2，0）关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
∴A（-1，0）．
令x=0，则y=-2，
∴B（0，-2）．
在直角△OAB中，OA=1，OB=2，则AB=$\sqrt{5}$．
设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．
∴直角△AOG是等腰直角三角形，
∴∠AGO=45°．
∵点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象位于点一、三象限．
故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：
①此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示，
过点D作DN⊥y轴于点N，
在直角△BDN中，∵∠DBN=∠AGO=45°，
∴DN=BN=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴D（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$-2），
∵点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象上，
∴k=-$\frac{\sqrt{10}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$-2）=$\frac{5}{2}$+$\sqrt{10}$；
②此菱形以AB为对角线，如图2，
作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象于点D．
再分别过点D、B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相较于点E．
在直角△BDE中，同①可证∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°，
∴BE=DE．
可设点D的坐标为（x，x-2）．
∵BE²+DE²=BD²，
∴BD=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$x．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BD=$\sqrt{2}$x．
∴在直角△ADF中，AD²=AF²+DF²，即（$\sqrt{2}$x）=（x+1）²+（x-2）²，
解得x=$\frac{5}{2}$，
∴点D的坐标是（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∵点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象上，
∴k=$\frac{5}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{4}$，
综上所述，k的值是$\frac{5}{2}$+$\sqrt{10}$或$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．解答（2）题时要分类讨论，以防漏解．