Question

如图，四边形ABCD的边AB在x轴上，A与O重合，CD∥AB，D（0，6

3

），直线AE与CD交于E，DE=6．以BE为折痕，把点A翻恰好与点C重合；动点P从点D出发沿着D→C→B→O路径匀速运动，速度为每秒4个单位；以P为圆心的⊙P半径每秒增加

3

个单位，当点P在点D处时，⊙P半径为

3

；直线AE沿y轴正方向向上平移，速度为每秒

3

3

个单位；直线AE、⊙P同时出发，当点P到终点O时两者都停止，运动时间为t；
（1）求点B的坐标；
（2）求当直线AE与⊙P相切时t的值；
（3）在整个运动过程中直线AE与⊙P相交的时间共有几秒？（直接写出答案）

Answer 1

考点：圆的综合题,等边三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质,切线的性质,轴对称的性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）根据勾股定理可求出AE长，易证△ABE是等边三角形，从而得到AB=AE，就可求出点B的坐标．
（2）由于点P在不同的线段上运动，需分情况讨论，可分四种情况（点P在DE上、点P在EC上、点P在BC上、点P在OB上）进行讨论，然后利用三角函数建立方程，就可求出相应t的值．
（3）在（2）的基础上，可得到直线AE与⊙P相交时t的范围，就可求出相交时间．

解答：解：（1）连接BE，如图1，
∵CD∥AB，
∴∠CDO+∠BOD=90°．
∵∠BOD=90°，
∴∠CDO=90°．
∵D（0，6

3

），
∴AD=6

3

．
∵DE=6，
∴AE=

AD2+DE2

=12．
∴sin∠AED=

AD

AE

=

3

2

．
∴∠AED=60°．
∵CD∥AB，
∴∠EAB=∠AED=60°．
由轴对称的性质可得：AE=EC，AB=BC，∠AEB=∠CEB=

180°-∠AED

2

=60°．
∴△ABE是等边三角形．
∴AB=AE．
∵AE=12，
∴BC=AB=AE=EC=12．
∴B（12，0）．

（2）①当圆心P在线段DE上时，过点P作PH⊥AE于H，如图2，

则有DP=4t，OA=

3

3

t，AD=6

3

-

3

3

t，PH=

3

+

3

t．
在Rt△ADE中，
∵tan∠AED=

AD

DE

=

3

，
∴DE=6-

1

3

t．
∴PE=DE-DP=6-

1

3

t-4t．
在Rt△PHE中，
则有sin60°=

3 + 3 t

6-4t- 1 3 t

=

3

2

，
解得：t₁=

12

19

．
②当圆心P在线段EC上时，过点P作PH⊥AE于H，如图3，

同理可得：PH=

3

+

3

t，PE=DP-DE=4t-6+

1

3

t．
在Rt△PHE中，
则有sin60°=

3 + 3 t

4t-6+ 1 3 t

=

3

2

，
解得：t₂=

24

7

．
③当圆心P在线段BC上时，过点P作PH⊥AE于H，过点C作CG⊥AE于G，如图4，

∵AE∥BC，PH⊥AE，CG⊥AE，
∴GC=PH．（平行线之间的垂线段相等）
在Rt△EGC中，
∵GC=PH═

3

+

3

t，EC=DC-DE=18-（6-

1

3

t）=12+

1

3

t，
∴sin60°=

3 + 3 t

12+ 1 3 t

=

3

2

．
解得：t₃=6．
④当圆心P在线段BO上时，

∵EC∥BF，EF∥BC，
∴四边形ECBF是平行四边形．
∴FB=EC=12+

1

3

t．
∵PB=4t-18-12=4t-30，
∴PF=FB-PB=42+

1

3

t-4t．
在Rt△FHP中，
∵∠HFP=60°，PH=

3

+

3

t，PF=42+

1

3

t-4t，
∴sin60°=

3 + 3 t

42-4t+ 1 3 t

=

3

2

．
解得：t₄=

120

17

∵点P在OB上，
∴

30

4

≤t≤

42

4

，即

15

2

≤t≤

21

2

．
∵

120

17

＜

15

2

，
∴t₄=

120

17

不符合要求，故舍去．
综上所述：当直线AE与⊙P相切时t的值为

12

19

秒或

24

7

秒或6秒．

（3）由（2）可知：当

12

19

＜t＜

24

7

和6＜t≤

21

2

时，直线AE与⊙P相交．
则相交的时间为（

24

7

-

12

19

）+（

21

2

-6）=

1941

266

（秒）．
所以在整个运动过程中直线AE与⊙P相交的时间共有

1941

266

秒．

点评：本题在图形的运动变化中，考查了圆的切线的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角函数的定义、勾股定理、平行线之间的垂线段相等、平行线的性质等知识，还考查了分类讨论的数学思想，综合性强，有一定的难度．