Question

如图1，在△ABB′和△ACC′中，∠BAB′=∠CAC′=m°，AC=AC′，AB=AB′．

（1）不添加辅助线的前提下，请写出图中满足旋转变换的两个三角形分别是：

△ACB和△AC′B′

；旋转角度是

m°

°；
（2）线段BC、B′C′的数量关系是：

BC=B′C′

；试求出BC、B′C′所在直线的夹角：

m°

；
（3）随着△ACC′绕点A的旋转，（2）的结论是否依然成立？请从图2、图3中任选一个证明你的结论；
（4）利用解决上述问题所获得的经验探索下面的问题：
如图4，等边△ABC外一点D，且∠BDC=60°，连接AD，试探索线段AD、CD、BD的数量关系．

Answer 1

分析：（1）根据SAS推出△ACB≌△AC′B′，即可得出答案；
（2）延长B″C″交BC于E，根据△ACB≌△AC′B′推出∠AB′C′=∠ABC，求出∠ABB′+∠AB′B=180°-m°，根据三角形内角和定理得出∠BEB′=180°-（∠BB′E+∠ABB′+∠ABC），代入求出即可；
（3）根据∠CAC′=∠BAB′求出∠CAB=∠C′AB′，证△ACB≌△AC′B′，推出BC=B′C，∠AB′C′=∠ABC，求出∠ABB′+∠AB′B=180°-m°，根据三角形内角和定理求出即可；
（4）在BD上取一点E，使∠BAE=∠DAC，根据∠BAC=60°=∠BDC求出∠DCA=∠ABE，证△ABE≌△ACD，推出BE=CD，AE=AD，求出∠EAD=∠CAB=60°，得出△AED是等边三角形，推出AD=DE即可．

解答：（1）解：△ACB和△AC′B′，m°，
理由是：∵∠BAB′=∠CAC′=m°，
∴∠CAB=∠C′AB′=m°，
∵在△ACB和△AC′B′中

AC=AC′ ∠CAB=∠C′AB′ AB=AB′

∴△ACB≌△AC′B′（SAS），
∴△ACB绕A点旋转能和△AC′B′重合，△ACB的边AC绕A点旋转∠CAC′到AC′，AB绕A点旋转∠BAB′到AB′，即旋转角度是m°，

（2）解：BC=B′C′，BC、B′C′所在直线的夹角是m°，
理由是：
延长B″C″交BC于E，如图1，
∵△ACB≌△AC′B′，
∴∠AB′C′=∠ABC，
∵∠BAB′=m°，
∴∠ABB′+∠AB′B=∠ABB′+∠AB′C′+∠BB′E=∠BB′E+∠ABB′+∠ABC=180°-m°，
∴∠BEB′=180°-（∠BB′E+∠ABB′+∠ABC）=180°-（180°-m°）=m°，

（3）结论还成立，
证明：如图2，
∵∠CAC′=∠BAB′，
∴∠CAC′+∠BAC′=∠BAB′+∠BAC′，
∴∠CAB=∠C′AB′，
在△ACB和△AC′B′中

AC=AC′ ∠CAB=∠C′AB′ AB=AB′

∴△ACB≌△AC′B′（SAS），
∴BC=B′C，∠AB′C′=∠ABC，
∵∠BAB′=m°，
∴∠ABB′+∠AB′B=∠ABB′+∠AB′C′+∠BB′E=∠BB′E+∠ABB′+∠ABC=180°-m°，
∴∠BEB′=180°-（∠BB′E+∠ABB′+∠ABC）=180°-（180°-m°）=m°．
即BC=B′C′，BC、B′C′所在直线的夹角是m°，
即（2）中的结论还成立．

（4）解：BD=AD+CD，
理由是：在BD上取一点E，使∠BAE=∠DAC，如图3，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°=∠BDC，
∴∠ABC+∠ACB=∠ABE+∠EBC+∠ACB=120°，∠EBC+∠DCA+∠ACB=120°，
∴∠DCA=∠ABE，
在△ABE和△ACD中

∠BAE=∠CAD AB=AC ∠ABE=∠ACD

∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE=CD，AE=AD，
∵∠BAE=∠CAD，∠BAC=60°，
∴∠EAD=∠EAC+∠CAD=∠EAC+∠ABE=∠CAB=60°，
∵AE=AD，
∴△AED是等边三角形，
∴AD=DE，
∴BD=BE+DE=CD+AD，
即BD=AD+CD．
故答案为：△ACB和△AC′B′，m°．故答案为：BC=B′C′，m°．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．