Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（2，0）和B（t，0）（t≥2），与y轴交于点C，直线l：y=x+2t经过点C，交x轴于点D，直线AE交抛物线于点E，且有∠CAE=∠CDO，作CF⊥AE于点F．

（1）求∠CDO的度数；
（2）求出点F坐标的表达式（用含t的代数式表示）；
（3）当S△COD﹣S四边形COAF=7时，求抛物线解析式；
（4）当以B，C，O三点为顶点的三角形与△CEF相似时，请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线l：y=x+2t与y轴点C，交x轴于点D，

∴C（0，2t），D（﹣2t，0）

∴OC=OD，

∵∠COD=90°，

∴∠CDO=∠DCO=45°．

（2）

解：如图1，作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，

∵∠HOG=∠OGF=∠FHO=90°，

∴四边形OGFH是矩形

∴∠HFG=90°，

∴∠HFA+∠AFG=90°

又∵CF⊥AE，

∴∠CFH+∠HFA=90°

∴∠CFH=∠AFG，

又∵∠CAE=∠CDO=45°，

∴∠FCA=45°，

∴CF=AF，

又∵∠FGA=∠CHF=90°，

在△FGA和△FHC中，

∴△FGA≌△FHC，

∴FH=FG，HC=AG，

设F（m，m）

则2t﹣m=m﹣2，

得m=t+1，

∴F（t+1，t+1）．

（3）

解：∵S△COD﹣S四边形COAF=S△COD﹣S正方形HOGF=7

∴ =7，

解得：t=4或﹣2（舍去），

则A点坐标（2，0），B点坐标（4，0），C点坐标（0，8）

设y=a（x﹣2）（x﹣4），

把C（0，8）代入y=a（x﹣2）（x﹣4），

解得a=1，

∴y=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8．

（4）

解：t=3或2．

如图2，作ET⊥HF于T，

求得：E的横坐标是 ，CH=t﹣1，FT= ，

由△HCF∽△TFE，

则 ，

得：

当△OBC∽△FEC时， =2，

即 =2，

解得：t=3或t=﹣1（ 舍去），

当△OBC∽△FCE时， ，

即 ，

解得：t=2或t=0（舍去）．

∴t=3或2．

【解析】（1）求出点C，D的坐标，得到OC=OD，即可解答；（2）如图1，作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，利用已知条件证明△FGA≌△FHC，得到FH=FG，HC=AG，设F（m，m）则2t﹣m=m﹣2，求出m的值，即可解答；（3）如图2，作ET⊥HF于T，分别得到E的横坐标是 ，CH=t﹣1，FT= ，再由△HCF∽△TFE，得到 ，即 ，分类讨论：当△OBC∽△FEC时；当△OBC∽△FCE时；求出t的值，即可解答．