【题目】已知抛物线,顶点为A,且经过点,点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积;
(3)如图2,点Q是折线A﹣B﹣C上一点,过点Q作QN∥y轴,过点E作EN∥x轴,直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将△QEN沿QE翻折得到△QEN1,若点N1落在x轴上,请直接写出Q点的坐标.
【答案】(1);(2)或;(3)(﹣,)或(﹣,2)或(,2).
【解析】
(1)将点B坐标代入解析式求得a的值即可;
(2)由∠OPM=∠MAF知OP∥AF,据此证△OPE∽△FAE得,即OP=FA,设点P(t,﹣2t﹣1),列出关于t的方程解之可得;
(3)分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得.
(1)把点代入,
解得:a=1,
∴抛物线的解析式为:;
(2)由知顶点A(,﹣2),
设直线AB解析式为:y=kx+b,代入点A,B的坐标,
得: ,
解得:,
∴直线AB的解析式为:y=﹣2x﹣1,
易求E(0,﹣1),,,
∵∠OPM=∠MAF,
∴OP∥AF,
∴△OPE∽△FAE,
∴,
∴,
设点P(t,﹣2t﹣1),则:
解得,,
∵△POE的面积=OE|t|,
∴△POE的面积为或.
(3)若点Q在AB上运动,如图1,
设Q(a,﹣2a﹣1),则NE=﹣a、QN=﹣2a,
由翻折知QN′=QN=﹣2a、N′E=NE=﹣a,
由∠QN′E=∠N=90°易知△QRN′∽△N′SE,
∴,即,
∴QR=2,ES=,
由NE+ES=NS=QR可得﹣a+=2,
解得:a=﹣,
∴Q(﹣,);
若点Q在BC上运动,且Q在y轴左侧,如图2,
设NE=a,则N′E=a,
易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3,
∴QR=、SE=﹣a,
在Rt△SEN′中,(﹣a)2+12=a2,
解得:a=,
∴Q(﹣,2);
若点Q在BC上运动,且点Q在y轴右侧,如图3,
设NE=a,则N′E=a,
易知RN′=2,SN′=1,QN′=QN=3,
∴QR=,SE=﹣a,
在Rt△SEN′中,(﹣a)2+12=a2,
解得:a=,
∴Q(,2).
综上,点Q的坐标为(﹣,))或(﹣,2)或(,2).
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知点A在抛物线y=x2+bx+c(b>0)上,且A(1,-1),
(1)若b-c=4,求b,c的值;
(2)若该抛物线与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点C,则命题“对于任意的一个k(0<k<1),都存在b,使得OC=k·OB.”是否正确?若正确,请证明;若不正确,请举反例;
(3)将该抛物线平移,平移后的抛物线仍经过(1,-1),点A的对应点A1为
(1-m,2b-1).当m≥-时,求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标.
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【题目】已知抛物线C1:y=ax2﹣4ax﹣5的开口向上.
(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标;
(2)试说明抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;
(3)将抛物线C1沿(2)所求的两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,
①写出抛物线C2的表达式;
②当抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90o,以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D,点E是AB的中点,连接DE并延长,交CB延长线于点F.
(1)判断直线DF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CF=8,DF=4,求⊙O的半径和AC的长.
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【题目】已知抛物线y1:y=2(x﹣3)2+1和抛物线y2:y=﹣2x2﹣8x﹣3,若无论k取何值,直线y=kx+km+n被两条抛物线所截的两条线段都保持相等,则m=_____,n=_____.
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【题目】甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示.根据图象所提供的信息有:①甲队挖掘30m时,用了3h;②挖掘6h时甲队比乙队多挖了10m;③乙队的挖掘速度总是小于甲队;④开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时,x=4.其中一定正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组,各组的日工资和人数如下表所示.现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组,调整后与调整前相比,下列说法中不正确的是( )
操作组 | 管理组 | 研发组 | |
日工资(元/人) | 260 | 280 | 300 |
人数(人) | 4 | 4 | 4 |
A.团队平均日工资不变B.团队日工资的方差不变
C.团队日工资的中位数不变D.团队日工资的极差不变
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【题目】阅读理解 在研究函数的图象性质时,我们用“描点”的方法画出函数的图象.
列出表示几组与的对应值:
描点连线:以表中各对对应值为坐标,描出各点,并用平滑的曲线顺次连接这些点,就得到函数的图象,如图1:
图1
可以看出,这个函数图象的两个分支分别在第一、二象限,且当时,与函数在第一象限的图象相同;当时,与函数在第二象限的图象相同.类似地,我们把函数(是常数,)的图象称为“并进双曲线”.
认真观察图表,分别写出“并进双曲线”的对称性、函数的增减性性质:
①图象的对称性性质: ;
②函数的增减性性质: ;
延伸探究如图2,点M,N分别在“并进双曲线”的两个分支上,,判断与的数量关系,并说明理由.
图2
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【题目】(10分)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
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