Question

2．如图，A（-4，0），B（0，2），C（0，4）．点D为x轴上一点，CD交直线AB于P，若△AOB≌△COD，求点P的坐标．

Answer 1

分析 根据已知条件求得直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，根据全等三角形的性质得到OD=OB=2，求得直线CD的解析式为y=-2x+4或y=2x+4，联立方程组即可得到结论．

解答 解：设直线AB的解析式为y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∵B（0，2），
∴OB=2，
∵△AOB≌△COD，
∴OD=OB=2，
∴D（2，0）或（-2，0），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-2x+4，或y=2x+4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-2x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）或（$\frac{-4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形全等的性质，直线的交点，分类讨论思想的运用是解题的关键．