Question

如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点A（8，14）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；
（3）设点P是x轴上的任意一点，分别连接AC、BC．试判断：PA+PB与AC+BC的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式的二次函数通式设出抛物线的解析式．然后根据A点的坐标即可求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出B、C、D的坐标．
（3）如果延长AC交y轴于E点．根据A、C的坐标可求出直线AC的解析式，不难得出E点的坐标，这时可发现E点正好和B点关于x轴对称，也就是说x轴是线段BE的垂直平分线，因此x轴上任意点到B、E两点的距离都相等，那么AE=AC+BC，AP+PC=AP+PE，因此本题要分两种情况进行讨论：
①当P、C重合时，此时AC+BC=AP+PC
②当P、C不重合时，在三角形AEP中，根据三角形三边之间的关系可得出AP+PE＞AE，根据前面分析的结论可得出AP+PC＞AC+BC．
综合上述两种情况：AP+BP≥AC+BC．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-）²-
∵抛物线经过A（8，14），
∴14=a（8-）²-，
解得：a=
∴y=（x-）²-（或）

（2）令x=0得y=2，
∴B（0，2）
令y=0得x²-x+2=0，
解得x₁=1、x₂=4
∴C（1，0）、D（4，0）

（3）结论：PA+PB≥AC+BC
理由是：①当点P与点C重合时，有PA+PB=AC+BC
②当点P异于点C时，
∵直线AC经过点A（8，14）、C（1，0），
∴直线AC的解析式为y=2x-2
设直线AC与y轴相交于点E，令x=0，得y=-2，
∴E（0，-2），
则点E（0，-2）与B（0，2）关于x轴对称
∴BC=EC，连接PE，则PE=PB，
∴AC+BC=AC+EC=AE，
∵在△APE中，有PA+PE＞AE
∴PA+PB=PA+PE＞AE=AC+BC
综上所得AP+BP≥AC+BC．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及根据二次函数的解析式求函数与坐标轴交点和抛物线顶点的方法，（3）中准确的作出E点（即B关于x轴的对称点）并能根据三角形三边的关系进行求解是解题的关键．