Question

我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．
如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）．
（1）判断直线y=

1

3

x+

5

6

与正方形OABC是否相交，并说明理由；
（2）设d是点O到直线y=-

3

x+b的距离，若直线y=-

3

x+b与正方形OABC相交，求d的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直线AB的解析式是x=1，直线BC的解析式是y=1，求出这两条直线与直线y=

1

3

x+

5

6

的交点，判断交点是否在正方形的边上，就可以判断；
（2）当直线y=-

3

x+b经过点B时，直线与正方形只有一个公共点，可以求出d的值，当直线在B的下方，在经过O点的直线的上方时，直线与正方形相交．

解答：解：（1）相交．
∵直线y=

1

3

x+

5

6

与线段OC交于点（0，

5

6

），同时直线y=

1

3

x+

5

6

与线段CB交于点（

1

2

，1），
∴直线y=

1

3

x+

5

6

与正方形OABC相交；

（2）当直线y=-

3

x+b经过点B时，
即有1=-

3

+b，
∴b=

3

+1．
即y=-

3

x+1+

3

，
记直线y=-

3

x+1+

3

与x、y轴的交点分别为D、E，
则D（

3 +3

3

，0），E（0，1+

3

），
解法1：在Rt△BAD中，tan∠BDA=

BA

AD

=

1

3 3

=

3

，
∴∠EDO=60°，∠OED=30度，
过O作OF₁⊥DE，垂足为F₁，则OF₁=d₁，
在Rt△OF₁E中，
∵∠OED=30°，
∴d₁=

3 +1

2

；

法2：∴DE=

2

3

（3+

3

），
过O作OF₁⊥DE，垂足为F₁，则OF₁=d₁，
∴d₁=

3 +3

3

×（1+

3

）÷

2

3

（3+

3

）=

3 +1

2

，
∵直线y=-

3

x+b与直线y=-

3

x+1+

3

平行，

法1：当直线y=-

3

x+b与正方形OABC相交时，一定与线段OB相交，且交点不与点O、B重合．
故直线y=-

3

x+b也一定与线段OF₁相交，记交点为F，则F不与点O、F₁重合，且OF=d，
∴当直线y=-

3

x+b与正方形相交时，
有0＜d＜

3 +1

2

；

法2：当直线y=-

3

x+b与直线y=x（x＞0）相交时，
有x=-

3

x+b，即x=

b

3 +1

，
当0＜b＜1+

3

时，0＜x＜1，0＜y＜1，
此时直线y=-

3

x+b与线段OB相交，且交点不与点O、B重合；
当b＞1+

3

时，x＞1，
此时直线y=-

3

x+b与线段OB不相交．
而当b≤0时，直线y=-

3

x+b不经过第一象限，即与正方形OABC不相交．
∴当0＜b＜1+

3

时，d随b的增大而增大，则直线y=-

3

x+b与正方形OABC相交，
此时有0＜d＜

3 +1

2

．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，正确确定直线与正方形相交的位置是解决本题的关键．