Question

【题目】如图所示，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，OG的延长线交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC＝BC，连接BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）⊙O的半径为10，tanA＝，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠OBD，∠CFB＝∠CBF，由垂径定理得到OD⊥AE，推出CB⊥OB，于是得到BC是⊙O的切线；

（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据三角函数的定义得到OG＝6，AG＝8，由勾股定理得到，通过证明△AGD∽△DGF得到GF＝2，，于是得到结论．

解：（1）∵OD＝OB，FC＝BC，

∴∠ODB＝∠OBD，∠CFB＝∠CBF，

∵G为弦AE的中点，且OD为半径，

∴OD⊥AE，

∴∠ODB+∠DFG＝∠ODB+∠CFB＝90°，

∴∠OBD+∠CBF＝90°，即CB⊥OB，

∴BC是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

由可设OG=3x，AG=4x，

在Rt△AOG中，

(3x)2+(4x)2=100，

∴x=2，

∴OG＝6，AG＝8，

∴，

∴．

∵∠DAG+∠DFG=90°，∠GDF+∠DFG=90°，

∴∠DAG=∠GDF，

又∵∠DGF=∠AGD=90°，

∴△AGD∽△DGF，

∴，

∴GF＝2，，

∴BF＝BD﹣DF＝6．