Question

18．如图，一次函数y=x+3的图象与坐标轴分别交于A，B两点，二次函数y=ax²+bx-3a的图象经过点A，B．
（1）求二次函数y=ax²+bx-3a的表达式．
（2）设此抛物线顶点为C，点B关于抛物线对称轴的对称点为D，求证：CD∥AB．
（3）试问直线AB上是否存在点P，使得△BDP与△BCD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点B和点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）利用配方法可求得点C的坐标、抛物线的对称轴，从而可得到点D的坐标，然后可求得DC的解析式，然后依据直线y=x+3与DC的一次项系数相同可得到DC与BA的位置关系；
（3）过点D作DP∥y轴，过点D作DP′⊥AB，垂足为P′，过点P′作P′E⊥BD，垂足为E先证明△DBC为等腰直角三角形，故此当△BDP为等腰直角三角形时，两三角形相似，故此可求得点P的坐标．

解答 解：（1）把x=0代入y=x+3得：y=3，
∴B（0，3）．
把y=0代入得：x+3=0，解得：x=-3．
∴A（-3，0）．
将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3a=3}\\{9a-3b-3a=0}\end{array}\right.$，解得：a=-1，b=-2．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴C（-1，4），抛物线的对称轴为x=-1．
∵点D与点B关于x=-1对称，
∴D（-2，3）．
设直线DC的解析式为y=kx+b，将点C、D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{-2k+b=3}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=5．
∴直线DC的解析式为y=x+5．
∵直线AB的解析式为y=x+3，直线DC的解析式为y=x+5，
∴DC∥AB．

（3）如图所示：过点P′作P′E⊥BD，垂足为E．

∵B（0，3），A（-3，0），
∴OA=OB．
∴∠ABO=45°．
∵点B与点D关于x=-1对称，
∴∠DBO=90°．
∴∠DBA=45°．
由两点间的距离公式可知：DC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，BD=2．
∴△DBC为等腰直角三角形．
∵△BDP与△BCD相似，
∴△BDP为等腰直角三角形．
∴∠PDB=90°或∠DP′B=90°．
当∠PDB=90°时，DP∥y轴，
∴点P的坐标为-2．
将x=-2代入y=x+3得：y=1，
∴点P的坐标为（-2，1）．
当∠DP′B=90°时，P′D=P′B，P′E⊥BD，
∴DE=BE=EP′=1．
∴点P′的坐标为（-1，-1）．
综上所述点P的坐标为（-2，1）或（-1，-1）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质和判定，求得DC的解析式是解答问题（2）的关键，证得△BCD为等腰直角三角形是解答问题（3）的关键．