Question

如图，直线y=-

3

4

x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线y=

5

4

x交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形，设正方形与△ACD重叠部分的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标；
（2）多少秒时．直线EQ经过点C；
（3）当0＜t＜5时，用含t的代数式表示PQ的长度；
（4）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据直线AB和直线OD的解析式组成方程组即可求点C的坐标；
（2）根据点C和A的横坐标求出点E移动的距离，即可求出多少秒时．直线EQ经过点C；
（3）分别求出点P、Q的纵坐标即可用含t的代数式表示PQ的长度；
（4）求出正方形与△ACD重叠部的宽，再与PQ相乘即可求出S与t之间的函数关系式．

解答：解：（1）∵直线y=-

3

4

x+6与直线y=

5

4

x交于点C，
∴

y= 5 4 x y=- 3 4 x+6

，
解得

x=3 y= 15 4

．
故点C的坐标是（3，

15

4

）

（2）∵点C的横坐标是3，点A的横坐标是8，
∴点E从点A出发沿x轴向左运动5个单位长度后直线EQ经过点C    
故5秒时，直线EQ经过点C．

（3）∵当0＜t＜5时，点P、Q的横坐标是8-t
∴点P的纵坐标是-

3

4

(8-t)+6=

3

4

t
点Q的纵坐标是

5

4

(8-t)=10-

5

4

t
故PQ的长=（10-

5

4

t）-

3

4

t=10-2t

（4）

10

3

≤t＜5时，PR=t，正方形与△ACD重叠部分的面积为正方形的面积，S=（10-2t）²=100-40t+4t²，
0＜t＜

10

3

时，正方形与△ACD重叠部分的面积为S=t（10-2t）=10t-2t²，

点评：本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题时要注意有关知识的综合应用．