Question

如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若BD=AD，FD=CD．
（1）求证：∠FBD=∠CAD；
（2）求证：BE⊥AC．

Answer 1

分析：（1）求出∠ADC=∠BDF=90°，根据SAS证△ADC≌△BDF，根据全等三角形的性质推出∠FBD=∠CAD即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠FBD+∠BFD=90°，推出∠AFE+∠EAF=90°，在△AFE中，根据三角形的内角和定理求出∠AEF即可．

解答：证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDF=90°，
∵在△ADC和△BDF中

BD=AD ∠ADC=∠BDF DF=CD

，
∴△ADC≌△BDF（SAS），
∴∠FBD=∠CAD；

（2）∵∠BDF=90°，
∴∠FBD+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
由（1）知：∠FBD=∠CAD，
∴∠CAD+∠AFE=90°，
∴∠AEF=180°-（∠CAD+∠AFE）=90°，
∴BE⊥AC．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，关键是推出△ADC≌△BDF．