Question

如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB₁A₁的对称轴为y轴．
（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A₂、B₂（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；
（2）连接A₁A₂、B₁B₂（其中A₂、B₂为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A₁A₂、B₁B₂；
（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（-2，4）、B（-4，2），连接（1）中A₂B₂，试问在x轴上是否存在点C，使△A₁B₁C与△A₂B₂C的周长之和最小？若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据中心对称的方法，找点A₂，B₂，连接即可．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）依题意与（1）可得A₁（-x₁，y₁），B₁（-x₂，y₂），A₂（-x₁，-y₁），B₂（-x₂，-y₂），得到A₁、B₁关于x轴的对称点是A₂、B₂，所以x轴垂直平分线段A₁A₂、B₁B₂．
（3）根据A₁与A₂，B₁与B₂均关于x轴对称，连接A₂B₁交x轴于C，点C为所求的点．根据题意得B₁（4，2），A₂（2，-4）
设直线A₂B₁的解析式为y=kx+b则利用待定系数法．解得

k=3 b=-10

，所以可求直线A₂B₁的解析式为y=3x-10．令y=0，得x=

10

3

，所以C的坐标为（

10

3

，0）．即点C（

10

3

，0）能使△A₁B₁C与△A₂B₂C的周长之和最小．

解答：解：（1）如图，A₂、B₂为所求的点．

（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
依题意与（1）可得A₁（-x₁，y₁），B₁（-x₂，y₂），A₂（-x₁，-y₁），B₂（-x₂，-y₂）
∴A₁、B₁关于x轴的对称点是A₂、B₂，
∴x轴垂直平分线段A₁A₂、B₁B₂．

（3）存在符合题意的C点．
由（2）知A₁与A₂，B₁与B₂均关于x轴对称，
∴连接A₂B₁交x轴于C，点C为所求的点．
∵A（-2，4），B（-4，2）依题意及（1）得：
B₁（4，2），A₂（2，-4）．
设直线A₂B₁的解析式为y=kx+b则有

4k+b=2 2k+b=-4

解得

k=3 b=-10

∴直线A₂B₁的解析式为y=3x-10，
令y=0，得x=

10

3

，
∴C的坐标为（

10

3

，0）
综上所述，点C（

10

3

，0）能使△A₁B₁C与△A₂B₂C的周长之和最小．

点评：主要考查了轴对称的作图和性质，以及垂直平分线的性质．要知道对称轴垂直平分对应点的连线．会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键．