Question

18．如图1，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．

（1）D点的坐标是（5，4），圆的半径为5；
（2）求经过C、A、B三点的抛物线所对应的函数关系式；
（3）设抛物线的顶点为F，试证明直线AF与圆D相切；
（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CBN面积最大，最大面积是多少？并求出N点坐标．

Answer 1

分析 （1）连接CD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD．依据垂径定理可知AE=3，然后依据切线的性质可知CD⊥y轴，然后可证明四边形OCDE为矩形，则DE=4，然后依据勾股定理可求得AD的长，故此可求得⊙D的半径和点D的坐标；
（2）先求得A（2，0）、B（8，0）．设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8），将点C的坐标代入可求得a的值；
（3）求得抛物线的顶点F的坐标，然后求得DF和AF的长，依据勾股定理的逆定理可证明△DAF为直角三角形，则∠DAF=90°，故此AF是⊙D的切线；
（4）过点N作NP∥y轴，交BC与点P．先求的BC的解析式，设N点坐标（a，$\frac{1}{4}$a²-$\frac{5}{2}$a+4），则点P坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a+4）．则NP=-$\frac{1}{4}$a²+2a，由S_△ABC=S_△CPN+S_△PBN可得到S_△ABC与a的函数关系式，最后利用配方法求解即可．

解答 解：（1）连接CD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD．

∵DE⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=3．
∵⊙D与y轴相切，
∴DC⊥y轴．
∵∠COE=∠OED=∠OCD=90°，
∴四边形OCDE为矩形．
∴OC=DE．
∵C（0，4），
∴DE=4．
在Rt△AED中，AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=5．
∴⊙D的半径为5．
∴D（5，4）．
故答案为：（5，4），5．

（2）如图1所示：
∵D（5，4），
∴E（5，0）．
∴A（2，0）、B（8，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8），将点C的坐标代入得：16a=4，解得：a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+4．

（3）∵y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+4，
∴抛物线的顶点坐标F（5，-$\frac{9}{4}$）．
∴DF=4+$\frac{9}{4}$=$\frac{25}{4}$，AF=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$．
又∵AD=5．
∴AD²+AF²=DF²，
∴△DAF为直角三角形．
∴∠DAF=90°．
∴AF是⊙D的切线．

（4）如图2所示：过点N作NP∥y轴，交BC与点P．

设BC的解析式为y=kx+4，将点B的坐标代入得：8k+4=0，解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
设N点坐标（a，$\frac{1}{4}$a²-$\frac{5}{2}$a+4），则点P坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a+4）．
∴NP=-$\frac{1}{2}$a+4-（$\frac{1}{4}$a²-$\frac{5}{2}$a+4）=-$\frac{1}{4}$a²+2a．
∴S_△ABC=S_△CPN+S_△PBN=$\frac{1}{2}$×BO×PN=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$a²+2a）=-（a-4）²+16．
∴当a=4时，S_△ABC最大，最大值为16，此时，N（4，-2）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了垂径定理、切线的性质和判定、矩形的判定和性质、勾股定理的逆定理、三角形的面积、二次函数的性质，由S_△ABC=S_△CPN+S_△PBN可得到S_△ABC与a的函数关系式是解题的关键．