Question

17．如图1，抛物线y=ax²-6x+c与x轴交于点A（-5，0）、B（-1，0），与y轴交于点C（0，-5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）若点P的坐标为（-2，3），请求出此时△APC的面积；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．
①若∠APE=∠CPE，求证：$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{7}$；
②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（-2，-3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，利用S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ进行计算；
（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形，则AH=DH，设P（x，-x²-6x-5），则OH=-x，OD=-x-DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=-x-$\frac{5}{x+6}$，则-x-x-$\frac{5}{x+6}$=5，则解方程求出x可得到OH和AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出$\frac{AE}{EC}$=$\frac{3}{7}$；
②设P（x，-x²-6x-5），则E（x，-x-5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点重合，此时P点坐标为（-1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE得到|-x²-6x-5|=|-x-5|，当E′A=E′P，如图2，AE′=$\sqrt{2}$E′H′=$\sqrt{2}$（x+5），P′E′=x²+5x，则|x²+5x|=$\sqrt{2}$（x+5），然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标．

解答 （1）解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1），
把C（0，-5）代入得a•5•1=-5，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+5）（x+1），即y=-x²-6x-5；
（2）解：设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（-5，0），C（0，-5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-5m+n=0}\\{n=-5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-5}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-x-5，
作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（-2，-3），
∴PQ=3-（-3）=6，
∴S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ=$\frac{1}{2}$•PQ•5=$\frac{1}{2}$×6×5=15；
（3）①证明：∵∠APE=∠CPE，
而PH⊥AD，
∴△PAD为等腰三角形，
∴AH=DH，
设P（x，-x²-6x-5），则OH=-x，OD=-x-DH，
∵PH∥OC，
∴△PHD∽△COD，
∴PH：OC=DH：OD，即（-x²-6x-5）：5=DH：（-x-DH），
∴DH=-x-$\frac{5}{x+6}$，
而OH+AH=5，即OH+DH=5，
∴-x-x-$\frac{5}{x+6}$=5，
整理得2x²+17x+35=0，解得x₁=-$\frac{7}{2}$，x₂=-5（舍去），
∴OH=$\frac{7}{2}$，
∴AH=5-$\frac{7}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∵HE∥OC，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}}$=$\frac{3}{7}$；
②能．设P（x，-x²-6x-5），则E（x，-x-5），
当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为（-1，0）；
当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|-x²-6x-5|=|-x-5|，解-x²-6x-5=-x-5得x₁=-5（舍去），x₂=0（舍去）；解-x²-6x-5=x+5得x₁=-5（舍去），x₂=-2，此时P点坐标为（-2，3）；
当E′A=E′P，如图2，AE′=$\sqrt{2}$E′H′=$\sqrt{2}$（x+5），P′E′=|-x-5-（-x²-6x-5）|=|x²+5x|，若x²+5x=$\sqrt{2}$（x+5），解得x₁=-5（舍去），x₂=$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（$\sqrt{2}$，-7-6$\sqrt{2}$）；若x²+5x=-$\sqrt{2}$（x+5），解得x₁=-5（舍去），x₂=-$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（-$\sqrt{2}$，6$\sqrt{2}$-7）．

综上所述，满足条件的P点坐标为（-1，0），（-2，3），（$\sqrt{2}$，-7-6$\sqrt{2}$），（-$\sqrt{2}$，6$\sqrt{2}$-7）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．