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如图:已知MN∥PQ,同旁内角的平分线AB、CD和AD、CD分别相交于点.
(1)猜想AC和BD间的关系是什么?
(2)试用理由说明你的猜想.

(1)答:AC与BD互相平分,且AC=BD,


(2)证明:∵MN∥PQ,
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC,
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ,
∴∠BAC=∠MAC、∠DCA=∠ACQ,
又∵∠MAC=∠ACQ,∴∠BAC=∠DCA,
∴AB∥CD,
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC,
∴∠BCA=∠ACP、∠DAC=∠NAC,
又∵∠ACP=∠NAC,
∴∠BCA=∠DAC,
∴AD∥CB,
又∵AB∥CD,
∴四边形ABCD平行四边形,
∵∠BAC=∠MAC,∠ACB=∠ACP,
又∵∠MAC+∠ACP=180°,
∴∠BAC+∠ACP=90°,
∴∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
分析:(1)AC与BD互相平分,(2)由题意可以推出∠BAC=∠DCA,继而推出AB∥CD;推出∠BCA=∠DAC,既而推出AD∥CB,因此四边形ABCD平行四边形,所以AC与BD互相平分.
点评:本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质、平行四边形的判定和性质,关键在于根据已知条件推出AD∥CB,AB∥CD,求证四边形ABCD平行四边形.
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(2)试用理由说明你的猜想.(本题将按正确结论的难易程度给分)

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