Question

如图：已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、CD和AD、CD分别相交于点．
（1）猜想AC和BD间的关系是什么？
（2）试用理由说明你的猜想．

Answer 1

（1）答：AC与BD互相平分，且AC=BD，


（2）证明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC=∠MAC、∠DCA=∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA=∠ACP、∠DAC=∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD平行四边形，
∵∠BAC=∠MAC，∠ACB=∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠ACP=90°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
分析：（1）AC与BD互相平分，（2）由题意可以推出∠BAC=∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，既而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，所以AC与BD互相平分．
点评：本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质、平行四边形的判定和性质，关键在于根据已知条件推出AD∥CB，AB∥CD，求证四边形ABCD平行四边形．