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    如图1，已知Rt△ABC中，，AC＝8cm，BC＝6cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

    （1）用含有t的代数式表示AE=_____________；
    （2）当t为何值时，DQ=AP；
    （3）如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形；
    （4）直接写出：当DQ的长最小时，t的值.
    （1）5－t；（2）；（3）；（4）

    试题分析：（1）先根据勾股定理求得AB的长，再根据点P的运动特征即可求得结果；
    （2）由题意当DQ=AP时，□AQPD是矩形，易证△APQ∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；
    （3）当□AQPD是菱形时，DQ⊥AP，根据∠BAC的余弦函数的定义求解即可；
    （4）根据点P、Q的运动特征结合DQ的长度的特征求解即可.
    （1）由题意得AE=5－t；
    （2）当DQ=AP时，□AQPD是矩形
    易证△APQ∽△ABC，得，解得
    ∴当时，DQ=AP；
    （3）当□AQPD是菱形时，DQ⊥AP
    则COS∠BAC，即，解得
    ∴当时，□AQPD是菱形；
    （4） 
    点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
    练习册系列答案
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    如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是　 　（填一个即可）

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    已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似
    A．2cm，3cmB．4cm，5cmC．5cm，6cmD．6cm，7cm

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    下列命题是真命题的是（   ）
    A．相等的角是对顶角
    B．三角形的一个外角大于任何一个内角
    C．一组邻边对应成比例的两个矩形相似
    D．若AB被点C黄金分割，则AC=AB

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，点A为x轴上一点，坐标为（4,0），点B、点C为y轴上两点，点B的坐标为（0,6），连接AB，过点C作x轴的平行线CD交AB于D，若，则点D的坐标为      .

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    （1）如图①，P为△ABC的边AB上一点（P不与点A、点B重合），连接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就称P为△ABC的边AB上的相似点．
    画法初探
    ①如图②，在△ABC中，∠ACB＞90°，画出△ABC的边AB上的相似点P（画图工具不限，保留画图痕迹或有必要的说明）；

    辩证思考
    ②是不是所有的三角形都存在它的边上的相似点？如果是，请说明理由；如果不是，请找出一个不存在边上相似点的三角形；
    特例分析
    ③已知P为△ABC的边AB上的相似点，连接PC，若△ACP∽△ABC，则△ABC的形状是   ；
    ④如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是边AB上的相似点，求的值．
    （2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的点（P不与点A、点B重合），作PQ⊥CD，垂足为Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就称PQ为矩形ABCD的边AB、CD上的相似线．

    ①类比（1）中的“画法初探”，可以提出问题：对于如图④的矩形ABCD，在不限制画图工具的前提下，如何画出它的边AB、CD上的相似线PQ呢？
    你的解答是：   （只需描述PQ的画法，不需在图上画出PQ）．
    ②请继续类比（1）中的“辩证思考”、“特例分析”两个栏目对矩形的相似线进行研究，要求每个栏目提出一个问题并解决．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，在□ABCD中，AD = 6，点E在边AD上，且DE = 3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值为（    ）
    A．B．C．D．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABC；④△ADF与△CFB．其中相似的为

    A．①④         B．①②             C．②③④           D．①②③

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以下尝试.
    （1）如图①，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度为           .
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    （3）有n个边长为a的正方形按图③摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b,求灯泡离地面的距离.（写出解题过程，结果用含a,b,n的代数式表示）

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