Question

在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△MON（如图所示），若二次函数的图象经过点A、M、O三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果把这个二次函数图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象与y轴的交点为C，求tan∠ACO的值；
（3）在（2）的条件下，设新的二次函数图象的对称轴与x轴的交点为D，点E在这条对称轴上，如果△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1），求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）本题需先得出M点的坐标，再设出二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，把A、M、O三点代入即可求出解析式．
（2）本题先得出图象向右平移2个单位的解析式，从而得出与y轴的交点坐标，再连接AN，即可求出tan∠ACO的值．
（3）本题需先分根据（2）的解析式得出对称轴为直线x=2，得出D点的坐标，再设出点E的坐标，这时再分两种情况进行讨论，当点E在x轴的上方时，得出

BD

DE

=

OC

BO

，即可求出点E的坐标，当点E在x轴的下方时，同理可得出点E的坐标．

解答：解：（1）由旋转可知：点M的坐标为（-1，1），
设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c
∵二次函数的图象经过点A、M、O三点，点A坐标为（1，1），
∴

1=a-b+c 1=a+b+c 0=c.

∴

a=1 b=0 c=0.

∴这个二次函数的解析式为y=x²．

（2）将这个二次函数图象向右平移2个单位，
得到新的二次函数的解析式为y=（x-2）²．
∴二次函数y=（x-2）²的图象与y轴的交点为C为（0，4），
由旋转可知：点N的坐标为（0，1），连接AN．
在Rt△ANC中，AN=1，CN=3，
∴tan∠ACO=

AN

CN

=

1

3

．

（3）由（2）得：新的二次函数y=（x-2）²图象的对称轴为直线x=2．
根据题意：得点D的坐标为（2，0），
可设点E坐标为（2，x），∠BOC=∠BDE=90°．
如果△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似：
①当点E在x轴的上方时，
如果

BD

DE

=

BO

OC

，又BD=BO=1，容易知道△BCO与△BDE全等（舍去），
如果

BD

DE

=

OC

BO

，又BD=1，BO=1，OC=4，DE=x，
∴

1

x

=

4

1

，
∴x=

1

4

．
所以点E的坐标为（2，

1

4

）．
②当点E在x轴的下方时，
同理：可得到E的坐标为（2，-

1

4

）．
所以：当△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1）时，
点E的坐标为（2，

1

4

）或（2，-

1

4

）．

点评：本题主要考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和解析式的求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．