Question

15．【阅读理解】当a＞0，b＞0时，a=（$\sqrt{a}$）²，b=（$\sqrt{b}$）²则（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²=（$\sqrt{a}$）²-2$\sqrt{ab}$+（$\sqrt{b}$）²=a+b-2$\sqrt{ab}$≥0，那么$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，因此对任意两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式；$\frac{a+b}{2}$$≥\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时取等号，我们把$\frac{a+b}{2}$叫做正数a，b的算术平均数，把$\sqrt{ab}$叫做正数a，b的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）他们的几何平均数，它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析】已知x＞0，求式子y=x+$\frac{4}{x}$的最小值．
解：令a=x，b=$\frac{4}{x}$，则由$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，得y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=2×$\sqrt{4}$=4，当且仅当x=$\frac{4}{x}$时，即x=2时，式子的最小值，最小值为4．
【学以致用】根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，则当x为$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，式子y=2x+$\frac{3}{x}$取到最小值，最小值是2$\sqrt{6}$．
（2）用篱笆围一个面积为64m²的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短是多少米？
（3）已知x＞0，则当x取何值时，式子y=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+9}$取到最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）他们的几何平均数，可知y=2x+$\frac{3}{x}$≥2•$\sqrt{2x•\frac{3}{x}}$，即y≥2$\sqrt{6}$，当且仅当2x=$\frac{3}{x}$时，即x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，y取得最小值，最小值为2$\sqrt{6}$．
（2）这个矩形的长、宽分别为xm，ym．由题意xy=64，因为x＞0，y＞0，所以x+y≥2$\sqrt{xy}$，即x+y≥16，当且仅当x=y=8时，x+y取得最小值．
（3））因为x＞0，所以y=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+9}$=$\frac{1}{x+\frac{9}{x}-2}$，可知x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$，即x+$\frac{9}{x}$≥6，当且仅当x=$\frac{9}{x}$时，即x=3时，x+$\frac{9}{x}$取得最小值，最小值为6，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵x＞0，
∴y=2x+$\frac{3}{x}$≥2•$\sqrt{2x•\frac{3}{x}}$，即y≥2$\sqrt{6}$，
当且仅当2x=$\frac{3}{x}$时，即x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，y取得最小值，最小值为2$\sqrt{6}$，
故答案为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，2$\sqrt{6}$．

（2）这个矩形的长、宽分别为xm，ym．由题意xy=64，
∵x＞0，y＞0，
∴x+y≥2$\sqrt{xy}$，即x+y≥16，
∴当且仅当x=y=8时，x+y取得最小值，
∴矩形的长、宽都等于8m时，所用的篱笆最短，最短是32m．

（3）∵x＞0，
∴y=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+9}$=$\frac{1}{x+\frac{9}{x}-2}$，
∵x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$，即x+$\frac{9}{x}$≥6，
当且仅当x=$\frac{9}{x}$时，即x=3时，x+$\frac{9}{x}$取得最小值，最小值为6，
∴x=3时，y=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+9}$=$\frac{1}{x+\frac{9}{x}-2}$取得最大值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）他们的几何平均数、考查学生的阅读理解能力，动手模仿能力，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．