Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，DC=2BD=4，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕D点旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为____

Answer 1

【答案】8

【解析】

点A作AM⊥BC于M，由已知得出BD=2，得出BC＝BD＋DC＝6，由等边三角形的性质得出AB＝AC＝BC＝6，BM＝3，得出DM＝BMBD＝1，在Rt△ABM中，由勾股定理得出AM=，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，AD＋AE＝DE，即此时AE取最小值，在Rt△ADM中，由勾股定理得出AD＝，在Rt△ADG中，由勾股定理即可得出AG=8

解：过点A作AM⊥BC于M，
∵DC=2BD=4，

∴BD＝2，
∴BC＝BD＋DC＝2＋4＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∵AM⊥BC，
∴BM＝BC＝3，
∴DM＝BMBD＝32＝1，
在Rt△ABM中，AM＝，
如图，当点E在DA延长线上时，AE＝DEAD．
此时AE取最小值，
在Rt△ADM中，AD＝，

∵四边形形DEFG是正方形，

∴∠ADG=90°，GD=DE=BC=6，
∴在Rt△ADG中，AG＝，
故答案为：8．