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    20．阅读下列材料：
    如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为边AC上一点，DA=DB，E为BD延长线上一点，∠AEB=120°，猜想AC、BE、AE的数量关系，并证明．
    小明的思路是：根据等腰△ADB的轴对称性，将整个图形沿着AB边的垂直平分线翻折，得到点C的对称点F，如图2，过点A作AF⊥BE，交BE的延长线于F，请补充完成此问题；
    参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
    如图3，等腰△ABC中，AB=AC，D、F在直线BC上，DE=BF，连接AD，过点E作EG∥AC交FH的延长线于点G，∠DFG+∠D=∠BAC．
    （1）探究∠BAD与∠CHG的数量关系；
    （2）请在图中找出一条和线段AD相等的线段，并证明．

    分析 阅读材料：如图2中，结论：AC=BE+$\frac{1}{2}$AE．理由如下，只要证明△ABF≌△BAC，推出AC=BF，再证明EF=$\frac{1}{2}$AE，可得AC=BF=BE+EF=BE+$\frac{1}{2}$AE．
    问题：（1）由∠ACD=∠D+∠CAD，∠D+∠CFG=∠BAC，推出∠CHG=∠CFH+∠FCH=∠CFH+∠D+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD，可得∠CHG=∠BAD．
    （2）结论：AD=FG．如图3中，延长BF到R，使得BR=CD，连接AR，作AJ∥CD交EG的延长线于J，连接FJ．首先证明四边形ACEJ，四边形AJFR是平行四边形，再证明△ABD≌△JEF，想办法证明∠1=∠2，即可解决问题．

    解答 解：阅读材料，如图2中，结论：AC=BE+$\frac{1}{2}$AE．理由如下，

    ∵DA=DB，
    ∴∠DAB=∠DBA，
    ∵AF⊥BF，
    ∴∠F=∠C=90°，
    在△ABF和△BAC中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠C=90°}\\{∠ABF=∠BAC}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
    ∴△ABF≌△BAC，
    ∴AC=BF，
    ∵∠AEB=120°=∠F+∠FAE，
    ∴∠FAE=30°，∴EF=$\frac{1}{2}$AE，
    ∴AC=BF=BE+EF=BE+$\frac{1}{2}$AE，
    ∴AC=BE+$\frac{1}{2}$AE．

    问题：（1）如图3中，

    ∵∠ACD=∠D+∠CAD，∠D+∠CFG=∠BAC，
    ∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=∠CFH+∠D+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD，
    ∴∠CHG=∠BAD．

    （2）结论：AD=FG．理由如下，
    如图3中，延长BF到R，使得BR=CD，连接AR，作AJ∥CD交EG的延长线于J，连接FJ．
    ∵AJ∥CE，AC∥JE，
    ∴四边形ACEJ，四边形ACGK是平行四边形，
    ∴AJ=CE，AC=JE，
    ∵AB=CA，
    ∴JE=AB，
    ∵AB=AC，
    ∴∠ABC=∠ACB，
    ∴∠ABR=∠ACD，
    在△ABR和△ACD中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABR=∠ACD}\\{BR=CD}\end{array}\right.$，
    ∴△ABR≌△ACD，
    ∴AR=AD，
    ∵BR=CD，BF=ED，
    ∴FR=CE=AJ，EF=BD，∵AJ∥RF，
    ∴四边形ARFJ是平行四边形，
    ∴JF=AR=AD，
    在△ABD和△JEF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AB=JE}\\{AD=JF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
    ∴△ABD≌△JEF，
    ∴∠1=∠BAD，
    ∵∠BAD=∠CHG=∠2，
    ∴∠1=∠2，
    ∴FG=FJ，
    ∴AD=FG．

    点评 本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、直角三角形30度角性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．

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