Question

16．在图1至图4中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边和AD在同一直线上．
操作示例：
当AE＜a时，如图1，在BA上选取适当的点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置，恰好构成四边形FGCH．
思考发现：
小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，已知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH=BG，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1所示），
实践探究：
（1）小明判断出四边形FGCH是正方形，请你给出判断四边形FGCH是正方形的方法．
（2）经测量，小明发现图1中BG是AE一半，请你证明小明的发现是正确的．（提示：过点F作FM⊥AH，垂足为点M）；
拓展延伸：
（3）类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得出两三角形全等，求出三角形FGH是等腰直角三角形，并推出四个角是直角，根据正方形的判定推出结论即可；
（2）过点F作FM⊥AH，垂足为点M，求出ME=$\frac{1}{2}$AE，证Rt△FMH≌Rt△HDC，推出MH=DC，即可得出结论；
（3）根据各个图形的特点，结合正方形的判定画出正方形即可．

解答 解：（1）如图1，连接GH，
∵△FEH是由△FAG绕点F逆时针旋转90°得到的，
∴△FGH是等腰直角三角形
∴FG=FH，∠FGH=∠FHG=45°，
同理：∠CGH=∠CHG=45°，
∴∠FGC=∠FHC=90°，
∴四边形FGCH是正方形；

（2）如图1，过点F作FM⊥AH，垂足为点M，
∴∠FMH=90°
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴ME=$\frac{1}{2}$AE，
∵∠FHM+∠HFM=90°，
∴∠FHM+∠CHD=90°
∴∠HFM=∠CHD，
∵四边形ABCD和四边形FGCH都是正方形，
∴FH=HC，∠FMH=∠CDH=90°，
在△FMH和△HDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MFH=∠DHC}\\{∠FMH=∠HDC}\\{FH=HC}\end{array}\right.$，
∴△FMH≌△HDC（AAS），
∴MH=DC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB
∵ME=MH-EH，
∴BG=AB-AG，
∵△FEH是由△FAG绕点F逆时针旋转90°得到的，
∴AG=EH，
∴BG=ME=$\frac{1}{2}$AE；

（3）正方形的示意图如图所示：

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，主要考查学生的推理能力和动手操作能力．正方形的判定方法为：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．